Глава 7. Приложения интегралов. Приближенные методы

§ 7.1. Площадь в полярных координатах

Площадь  фигуры, ограниченной двумя выходящими из полярного полюса лучами, , и кривой , заданной в полярных координатах непрерывной функцией ,  может быть определена следующим образом (рис. 80). Производим разбиение отрезка :

.

Элемент площади фигуры, ограниченной кривой  и лучами , приближенно выражаем площадью кругового сектора, ограниченного теми же лучами и окружностью радиуса , равной

.

Естественно считать, по определению,

.                (1)

Мы получили формулу площади фигуры в полярных координатах. Для непрерывной функции  интеграл (1), как мы знаем, существует и, следовательно, предел любой интегральной суммы равен этому интегралу.

Рис. 80                                                     Рис. 81

П р и м е р. Изображенная на рис. 81 окружность в полярных координатах определяется уравнением . В силу (1) площадь круга

.