§ 7.2. Объем тела вращения

Пусть  есть кривая, описываемая в прямоугольной системе координат , непрерывной положительной функцией . Вычислим объем  тела вращения, ограниченного плоскостями  и поверхностью вращения кривой  вокруг оси .

Производим разбиение отрезка  на части:  - и считаем, что элемент объема тела, ограниченного плоскостями , приближенно равен объему цилиндра высоты  и радиуса :

.

Рис. 82

Величина  приближенно выражает  и

.                    (1)

Мы получили формулу объема тела вращения (рис. 82).

П р и м е р. Эллипсоид вращения (вокруг оси )

есть тело, ограниченное поверхностью вращения кривой

вокруг оси , поэтому на основании формулы (1) его объем равен

.