§ 7.3. Гладкая кривая в пространстве. Длина дуги
В § 4.21 было введено понятие плоской непрерывной кривой, заданной параметрически, в частности гладкой кривой. Мы хотим пополнить эти сведения. Но заодно будем рассматривать более общую кривую в пространстве. Три уравнения (рис. 83)
,
где функции
непрерывны на
, определяют непрерывную кривую, которую мы обозначим через
. Если к тому же функции
не только непрерывны, но имеют на
непрерывные производные, одновременно не обращающиеся в нуль, то
называется гладкой кривой на
.

Рис. 83
Тот факт, что производные
для любого значения
одновременно не обращаются в нуль, можно выразить так: имеет место неравенство
(2)
для всех
.
Если мы зададим определенное значение
, то в силу (2) одно из слагаемых
- пусть первое – не равно нулю
. Вследствие непрерывности
существует интервал
, на котором
имеет тот же знак, что и
. Но тогда на этом интервале функция
строго монотонна и существует обратная к ней непрерывно дифференцируемая функция
- некоторая окрестность точки
. В результате мы получим, что некоторый малый кусок
кривой
, содержащий в себе точку
, описывается двумя непрерывно дифференцируемыми функциями от
:
,

. Если, на самом деле,
или
, то, рассуждая подобным образом, получим, что некоторый кусок
записывается уравнениями


или соответственно

.
Уравнения (1) гладкой кривой
не только задают
(как геометрическое место точек
, но и определяют ориентацию
, т. е. направление, вдоль которого возрастает параметр
. На рис. 83 изображена гладкая кривая
, соответствующая изменению параметра
на отрезке
- начальная точка
,
- конечная точка
, стрелка указывает ориентацию
.
Когда параметр
непрерывно возрастает от
до
, точка
непрерывно двигается по
от начальной точки
до конечной точки
. Движущаяся точка может возвратиться в прежнее положение, т. е. может случиться, что
и
, и тогда кривая
называется самопересекающейся. Кривая
называется замкнутой, если точки
и
совпадают.
Введем функцию
, имеющую непрерывную не равную нулю производную на
и отображающую
на
. Так как
не меняет знак на
, то может быть только два случая:
1)
, и тогда
,
2)
, и тогда
.
Наша гладкая кривая
может быть задана уравнениями
(1’)
при помощи параметра
. Одна и та же гладкая кривая
может быть задана параметрически посредством разных параметров
.
Заметим, что условие (2) на языке
сохраняется, потому что согласно формуле производной функции от функции
. (3)
Однако при введении нового параметра
может измениться ориентация
. Если
на
, то функция
строго возрастает и
. В этом случае с возрастанием
возрастает
от
до
, т. е. ориентация
не меняется – уравнения (1) и (1’) определяют одну и ту же гладкую кривую с той же ориентацией, только при помощи разных параметров. Если же
на
, то
и при возрастании
параметр
убывает. В этом случае уравнения (1’) определяют ту же кривую
, что и уравнения (1), но с противоположной ориентацией.
В тех вопросах, где нужно учитывать ориентацию кривой, под буквой
понимают не только самую кривую (геометрическое место точек), но и ее ориентацию. Надо помнить, что уравнения (1) определяют как саму кривую, так и ее ориентацию (движение точки
в направлении возрастания
). Если заменить параметр
на другой параметр
, то получим ту же ориентированную кривую
, если
. Если же
, то получим ту же кривую, но ориентированную противоположно – ее уже (как ориентированную кривую) надо обозначить другим символом, удобно через
.
Если задана ориентированная кривая
посредством уравнений (1), то
можно, например, задать уравнениями
.
Введем понятие длины дуги непрерывной кривой
. Пусть задана непрерывная кривая
посредством уравнений (1). Разобьем отрезок
значениями
. Каждому
соответствует точка
. Соединим точки
последовательно отрезками
(рис. 84). В результате получим ломаную
, вписанную в
. Длина
равна сумме длин
:
. (4)

Рис. 84
Предел длины
, когда максимум
стремится к нулю
, (5)
если он существует (есть конечное число), называется длиной дуги
. Мы его обозначили через
.
Можно доказать, что для любой непрерывной кривой (1) предел (5) конечный или бесконечный
существует. В случае если этот предел конечный, кривая называется спрямляемой.
Т е о р е м а 1. Гладкая на
кривая
, определяемая равенствами (1), спрямляема. Ее длина дуги равна
(6)
В этой формулировке важно, что уравнения
заданы на отрезке
. Если бы они были заданы на интервале
, где
непрерывно дифференцируемы на
и их производные одновременно не равны нулю, мы тоже сказали бы, что уравнения (1) определяют гладкую на
кривую, но она могла бы и не быть спрямляемой. Однако любой ее кусок, соответствующий некоторому отрезку
спрямляем.
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1. Применяя теорему Лагранжа к функциям
, будем иметь 


,
и, следовательно (пояснения ниже),


(7)
(здесь
- вообще различные точки), т. е. справедлива формула (6).
В самом деле, в силу непрерывности подынтегральной функции
.
Кроме того, заметим, что выполняется неравенство
,
выражающее, что разность длин двух сторон треугольника не превышает длины третьей стороны.
Далее, так как функции
и
непрерывны на
, то они и равномерно непрерывны на
. Поэтому, если
, то
,
и, следовательно,



.
Это показывает, что
при
.
Применим формулу (6) к вычислению длины дуги
, когда она задана уравнениями (1’), при помощи параметра
. Имеем (см. (6)).


.
В последнем равенстве этой цепи мы произвели замену переменной
в интеграле.
Следовательно,
.
Мы видим, что формула (6) длины дуги выражается инвариантно через параметр дуги.
Введем функцию
(8)
от верхнего предела интеграла. Она выражает длину дуги
, где
- переменная точка дуги
, соответствующая значению параметра
. Под интегралом в (8) стоит непрерывная функция от
, поэтому производная длины дуги
по
равна
. (9)
Так как
непрерывны, то
в свою очередь есть непрерывная функция от
, при этом положительная (см. § 7.3, (2)). Но тогда
строго возрастает на
и имеет обратную непрерывно дифференцируемую функцию
, (10)
обладающую свойством
.
Но тогда переменная
может служить параметром нашей гладкой кривой
- уравнения
можно записать в виде

где функции
непрерывно дифференцируемы на
.
Чтобы получить соответствующие результаты для плоской кривой
, надо в предыдущих рассуждениях положить
. Тогда гладкая плоская кривая
определяется двумя уравнениями

где
и
- непрерывно дифференцируемые функции, подчиняющиеся условию
.
Длина
равна
. (6’)
Длина дуги
, где
есть точка
, соответствующая значению параметра 
, (8’)
дифференциал дуги равен
. (9’)
Если
задана при помощи непрерывно дифференцируемой функции
,
то можно считать, что
определяется параметром
:
.
Тогда в силу (6’)
.
Дифференциал же дуги
выражается формулой
.
П р и м е р 1. Найти дугу кривой
:
,
.
Имеем
.
П р и м е р 2. Найти длину окружности
радиуса
. Окружность в параметрическом виде можно задать следующим образом:
.
Тогда
.
П р и м е р 3. Найти длину дуги кривой
:
, когда
изменяется в пределах от 0 до 2.
Отметим, что явную зависимость
от
можно найти, если мы вычислим интеграл, используя подстановку Эйлера или рассматривая этот интеграл как дробно-линейную иррациональность. Но в данном случае нам не нужна эта явная зависимость. Имеем
. Поэтому
.