§ 7.4. Кривизна и радиус кривизны кривой. Эволюта и эвольвента

Кривизной окружности радиуса называется число . Это число можно также получить как отношение угла между касательными в концах какой-нибудь дуги окружности к длине дуги. Угол между касательными к окружности в точках и равен центральному углу между радиусами и . Длина дуги равна . Поэтому (рис. 85)

Последнее определение кривизны окружности дает идею определения кривизны произвольной гладкой кривой .

Рассмотрим плоскую гладкую кривую . Как мы показали в § 7.3, она спрямляема и имеет смысл говорить о длине любой ее дуги . Угол между касательными к в точках и называется углом смежности дуги . Отношение угла смежности дуги к ее длине называется средней кривизной дуги (рис. 86). Наконец, кривизной кривой в ее точке называется предел (конечный или бесконечный) отношения угла смежности дуги кривой к ее длине , когда последняя стремится к нулю:

. (1)

Рис. 85 Рис. 86

Таким образом, . По определению, величина (где считается, что ) называется радиусом кривизны в точке .

Точка , лежащая на нормали к в точке на расстоянии от в сторону вогнутости , называется центром кривизны в точке (рис. 87 и 88) . Очевидно, что центр окружности совпадает с центром ее кривизны.

Рис. 87 Рис. 88

Кривая , являющаяся геометрическим местом центров кривизны плоской кривой , называется эволютой . Сама кривая называется эвольвентой .

Пусть кривая задана функцией , имеющей непрерывную вторую производную. Найдем ее кривизну в точке . Пусть и - углы, которые составляют касательные к в точках и с положительным направлением оси (см. рис. 86)

. (2)

. (3)

Поэтому из (1), применяя правило Лопиталя (по ), получаем

Мы получили формулу для кривизны

. (4)

Если гладкая кривая задана параметрически

где и - дважды непрерывно дифференцируемые функции, то, пользуясь правилом дифференцирования параметрически заданных функций, получим (см. § 4.11)

. (5)

Найдем параметрическое уравнение эволюты кривой , заданной уравнением (рис. 87, 88) . Имеем (см. (4))

. (6)

Центр кривизны кривой в ее точке пусть имеет координаты . Он определяется вектором

, (7)

где - радиус-вектор точки , а - единичный вектор нормали, направленный в сторону вогнутости . Кривая имеет векторное уравнение

Отсюда

Далее (см. § 4.23, (3’)),

Знак надо выбрать так, чтобы вектор был направлен в сторону вогнутости , т. е. чтобы скалярное произведение имело положительный знак:

Итак

. (8)

Переходя в равенстве (7) к проекциям, учитывая (6) и (8), получим

. (9)

Докажем, что нормаль к кривой (эвольвенте) в точке является касательной к эволюте в точке . Достаточно для этого доказать, что касательные к кривой и к эволюте в соответствующих точках ортогональны (перпендикулярны):

Другое важное свойство эволюты заключается в следующем. Приращение радиуса кривизны эвольвенты равно с точностью до знака приращению длины соответствующей дуги эволюты:

На доказательстве этого свойства мы не останавливаемся.

Представим себе нить, навернутую на эволюту. Пусть она сматывается с последней, будучи все время натянутой. Отделяясь от эволюты, она, очевидно, все время будет касаться эволюты. Свободный же ее конец будет описывать эвольвенту (рис. 89). Так как длина нити может быть произвольной, то эволюта порождает бесконечно много эвольвент. Длина, на которую сматывается нить с эволюты, равна, очевидно, приращению радиуса кривизны эвольвенты. Если кривая задана параметрически: , то эволюта определяется уравнениями

(10)

(см. § 4.11).

Рис. 89

П р и м е р 1. Эволюта циклоиды есть кривая . Полагая , получим уравнения

определяющие исходную кривую, но только сдвинутую (эволюта циклоиды есть циклоида, конгруэнтная исходной, рис. 90).

Рис. 90 Рис. 91

П р и м е р 2. Эволюта эллипса есть астроида (рис. 91)