§ 7.5. Площадь поверхности вращения

Пусть  есть кривая, описываемая в прямоугольной системе координат  положительной функцией  , имеющей на  непрерывную производную. Вычислим площадь  поверхности вращения  вокруг оси . Для этого произведем разбиение , впишем в кривую  ломаную  с вершинами , вычислим площадь поверхности вращения последней вокруг оси  (сумма площадей боковых поверхностей усеченных конусов):

,

.

Число , равное пределу  при , если он существует, называется площадью поверхности вращения. Применяя теорему Лагранжа к разности , получим

при ; согласно теореме Лагранжа точка . В самом деле, так как  и  непрерывны  на , то  интегрируема, поэтому

.

Далее

,

так как  интегрируема. Здесь . Таким образом, площадь поверхности тела вращения равна

.             (1)

П р и м е р. Найти площадь  поверхности вращения эллипса

вокруг оси  (площадь поверхности эллипсоида вращения).

Р е ш е н и е. Уравнение верхней половины эллипса

.

При  в пределе получим, что  - площадь поверхности шара радиуса .