§ 7.6. Интерполяционная формула Лагранжа

Поставим задачу. Требуется найти алгебраический многочлен  степени не выше, чем , который совпадал бы с функцией  в заданных точках . Таким образом, должны выполняться условия

.

Многочлен  единственный. Если предположить, что существует еще один многочлен  с теми же свойствами, то разность  обратится в нуль в  точке  и будет алгебраическим многочленом степени не выше, чем , значит, разность тождественно равна нулю и .

Из единственности следует, что если исходная функция  сама является алгебраическим многочленом степени , то она совпадает с  для всех  .

Сначала найдем алгебраический многочлен степени  , который в точках  равен нулю, а в точке  равен единице. Очевидно, что

,

где постоянная  находится из условия

,  т. е.  .

Таким образом, искомый многочлен имеет вид

.

Если ввести в рассмотрение символ Кронекера

то

.

Поставленную задачу решает многочлен

,                                 (1)

ибо

.

Многочлен (1) называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Так же как при получении формулы остаточного члена в формуле Тейлора можно показать, что если  имеет производную -го порядка, то

,                   (2)

где

и  - некоторая точка, принадлежащая к наименьшему отрезку, содержащему точки  . В самом деле, положим для фиксированного

,                                  (3)

где  - величина, зависящая от . Обозначим

,

где  имеет то же значение, что и в (3), это величина, не зависящая от . Ясно, что . Пусть, например, , тогда, применяя теорему Ролля к функции  на отрезках , получим, что производная  обращается в нуль внутри каждого из них. Затем, применяя теорему Ролля последовательно к функциям   получим, что существует точка , принадлежащая наименьшему отрезку, содержащему в себе точки , в которой  , но

.

Полагая , получим . Поэтому

,

и равенство (2)  доказано.

Интерполяционный многочлен Лагранжа находит применение в приближенном вычислении производных функции , когда ее значения известны только в точках . А именно, полагают

Например, если  известна в точках , то, построив по этим точкам многочлен Лагранжа , найдем, что

.

В последующих параграфах мы укажем применение многочлена Лагранжа при приближенном вычислении определенного интеграла.