§ 7.7. Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций

Пусть надо вычислить определенный интеграл от непрерывной на отрезке  функции . Если известна ее первообразная, то для этого естественно применить формулу Ньютона-Лейбница. Но далеко не всегда первообразная известна, и возникает задача о приближенном вычислении интеграла.

Простейший способ приближенного вычисления определенного интеграла вытекает из определения последнего. Делим отрезок  на равные части точками

                   (1)

и полагаем

,               (2)

где знак  выражает приближенное равенство.

Выражение (2) называется квадратурной формулой прямоугольников. В случае рис. 92, искомая площадь фигуры, ограниченной кривой , осью  и прямыми   ,  приближенно равна сумме площадей изображенных там прямоугольников.

Рис. 92

Мы знаем, что для непрерывной на  функции предел при  правой части приближенного равенства (2) точно равен левой, что дает основание считать, что при большом  ошибка квадратурной формулы (2), т. е. абсолютная величина разности правой и левой ее частей,  мала. Однако возникает вопрос об оценке ошибки. Ниже мы узнаем, как эту оценку получить, если потребовать, чтобы функция , кроме непрерывности, удовлетворяла некоторым условиям гладкости (т. е. имела бы некоторое число производных).

Очень важно заметить. Что если функция  есть линейная функция, то для нее формула (2) точка – правая часть (2) в точности равна левой. Так как линейная функция есть многочлен первой степени, то мы можем сказать, что квадратурная формула прямоугольников точна для всех многочленов не выше первой степени.

Дадим еще второй естественный способ приближенного вычисления определенного интеграла, приводящий к квадратурной формуле трапеций. Он заключается в том, что отрезок  делится на равные части точками системы (1) и полагается приближенно, что

.

В формуле трапеций площадь рассмотренной выше криволинейной фигуры приближенно исчерпывается площадями трапеции (рис. 93). Важно отметить, что формула трапеций точна для линейных функций  (,  - постоянные), т. е. для многочленов не выше первой степени; Если подставить такую функцию в (3) вместо , то получится точное равенство. В этом смысле формула трапеций не имеет преимущества перед формулой прямоугольников, обе они точны для линейных функций.

Рис. 93

Разность между левой и правой частями квадратурной формулы обозначим через  и будем называть остаточным членом квадратурной формулы.

Если функция  имеет кусочно-непрерывную производную , удовлетворяющую неравенству , то остаточный член формулы прямоугольников (2) подчиняется неравенству

,                            (3)

а остаточный член формулы трапеций (3) подчиняется неравенству

 .                           (4)

Нужно сказать, что здесь константы вычислены точно – их нельзя уменьшить. Вывод оценки (2) приведен ниже. Остальные оценки мы даем без доказательства.

Мы видим, что в обоих случаях для класса функций, имеющих ограниченную производную , остаточные члены имеют порядок  (см. § 3.10, (14)).

Для класса же функций, имеющих ограниченную вторую производную  на , имеет место оценка

,

верная для формул прямоугольников и трапеций. Теперь уже порядок приближения посредством обеих рассматриваемых квадратурных формул есть .

Оказывается, что для класса функций, имеющих ограниченную производную порядка , порядок приближения посредством формул прямоугольников и трапеций не улучшается – порядок остается равным .

Объяснения этого явления тесно связано с тем фактом, что обе квадратурные формулы – прямоугольников и трапеций – являются точными для многочленов первой степени, но они не точны для многочленов степени выше, чем 1.

Если функция  имеет третью ограниченную производную, то можно придумать квадратурную формулу,  дающую погрешность приближения порядка . Эта формула должна быть точной для многочленов второй степени. Но если она не точна для многочленов третьей степени, то для функций, имеющих ограниченную производную четвертого порядка, погрешность приближения остается имеющей порядок .

Явление, которое здесь описывается, будет проиллюстрировано на примере квадратурной формулы Симпсона в § 7.8.

Приведем доказательство оценки (3). Введем обозначения:   - точки системы (1). Тогда

,

так как

.

Применяя теорему Лагранжа под знаком интеграла и учитывая, что , получаем

,

где  - точка, лежащая между  и . Производя замену переменной , получаем

.