§ 7.8. Формула Симпсона

Пусть требуется приближенно вычислить интеграл от непрерывной функции :

.                                      (1)

Будем искать приближенное значение интеграла в виде суммы

,               (2)

где  и  - заданные числа.

Формула (2) называется квадратурной формулой с узлами  и весовыми коэффициентами .

При построении конкретных приближенных формул мы выставляем требование, чтобы формула (2) была точной для алгебраических многочленов степени . Это условие будет выполнено, если в качестве приближенного значения интеграла (1) мы возьмем определенный интеграл от интерполяционного многочлена Лагранжа -й степени функции :

,    (3)

,

потому что, если  - многочлен степени , то .

Получим формулу (3) для случая  и узлов . В этом случае

,

,

.

Поэтому

.

Аналогично рассуждая, получим

.

В силу этого формула (3) при  имеет вид

.                   (4)

Эта простейшая квадратурная формула Симпсона, соответствующая отрезку .

С геометрической точки зрения формула (4) означает, что мы заменили площадь криволинейной трапеции, определяемой функцией  на , на площадь, находящуюся под графиком параболы (рис. 94):

.

Рис. 94

Еще раз отметим, что по построению формула (4) точна для многочленов второй степени. Однако оказывается, что она точна и для многочленов третьей степени. В самом деле, , а правая часть формулы (4) для функции  также равна этому числу:

.

Таким образом, формула (4) точна для многочленов не выше третьей степени.

Если разделить отрезок  на  равных частей точками

и к отрезкам  применить формулу (4), то в результате получим (усложненную ) квадратурную формулу Симпсона

.                            (5)

С точки зрения практических вычислений сложность вычислений по формуле Симпсона и прямоугольников одинакова. Но если функция  достаточно гладкая, то погрешность приближения по формуле Симпсона при больших  значительно меньше соответствующей погрешности при приближении методом прямоугольников.

Если функция  имеет на отрезке  первую или вторую непрерывную производную, удовлетворяющую неравенству

   или   ,

а третью не имеет, то при вычислении интеграла  рекомендуется применить формулу прямоугольников или трапеций.

Погрешность приближения по формуле прямоугольников или трапеций (§ 7.7, (3)) будет порядка .

А по формуле Симпсона – порядка  в случае второй производной и  в случае третьей производной.

Если же функция  имеет на  четвертую непрерывную производную, удовлетворяющую неравенству

,                                  (6)

то в этом случае рекомендуется применить формулу Симпсона. При этом погрешность приближения будет:

.                              (7)

Если бы мы в этом случае применили формулу трапеций, то погрешность приближения по-прежнему имела бы порядок , т. е. была бы хуже чем (7).

П р и м е р    1. Вычислить интеграл

.

Данный интеграл (от биномиального дифференциала) не вычисляется в элементарных функциях.

Вычислим этот интеграл приближенно, деля отрезок  на десять равных частей, используя различные квадратурные формулы.

Обозначим точки деления  через . Вычислим приближенно значения функции  в этих точках:

,
		.

Согласно квадратурной формуле трапеций

.

Функция  имеет сколько угодно непрерывных производных на промежутке . Погрешность формулы трапеций определим, исходя из факта существования второй непрерывной производной

.

Так как , то остаточный член формулы трапеций

.

Итак,

.

По формуле Симпсона

.

Остаточный член формулы Симпсона можно определить, учитывая, что  имеет непрерывную производную четвертого порядка (наличие производных порядка выше четвертого не влияет на точность формулы Симпсона)

.

Так как , то

.

Таким образом,

,

т. е. формула Симпсона значительно точнее формулы трапеций для достаточно гладких функций и большого .

З а м е ч а н и е.  Все вычисления производились при помощи ручного микрокалькулятора  «Электроника БЗ–18М».