§ 8.2. Предел функции

В § 3.2 рассматривалось понятие предела функции одной переменной. Здесь это понятие обобщается  на случай функции многих переменных.

Ограничимся случаем двух переменных . По определению функция  имеет предел в точке , равный числу , обозначаемый так:

                              (1)

(пишут еще  при ), если она определена в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел

,                         (2)

какова бы ни была стремящаяся к  последовательность точек .

Так же, как и в случае функции одной переменной, можно ввести другое эквивалентное определение предела функции двух переменных: функция  имеет в точке  предел, равный , если она определена в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой этой точки, и для любого  найдется такое , что

                                 (3)

для всех , удовлетворяющих неравенствам

.         (4)

Это определение, в свою очередь, эквивалентно следующему: для любого  найдется  - окрестность точки  такая, что для всех  из этой окрестности, отличных от , выполняется неравенство (3).

Так как координаты произвольной точки  окрестности точки  можно записать в виде , то равенство (1) эквивалентно следующему равенству:

.

Рассмотрим некоторую функцию, заданную в окрестности точки ,  кроме, быть может, самой этой точки.

Пусть  - произвольный вектор длины единица  и  - скаляр. Точки вида

образуют луч, выходящий из  в направлении вектора . Для каждого  можно рассматривать функцию

от скалярной переменной , где  - достаточно малое число.

Предел этой функции (одной переменной  )

,

если он существует, естественно называть пределом  в точке  по направлению .

П р и м е р   1. Функции

определены на плоскости  за исключением точки . Имеем (учесть, что   и ):

.

Отсюда

(для  полагаем  и тогда , если ).

Далее, считая, что  - постоянная, имеем для  равенство

,

из которого видно, что предел  в точке  по разным направлениям вообще различен (единичный вектор луча , , имеет вид ).

П р и м е р   2. Рассмотрим в  функцию

.

Данная функция в точке  на любой прямой , проходящей через начало координат, имеет предел, равный нулю:

.

Однако эта функция не имеет предела в точке , ибо при

.

Будем писать

,

если функция  определена в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки  и для всякого  найдется  такое, что

,

коль скоро .

Можно также говорить о пределе , когда :

.                               (5)

Например, в случае конечного числа  равенство (5) надо понимать в том смысле, что для всякого  найдется такое , что для всех , для которых , функция  определена и имеет место неравенство

.

Справедливы равенства

                 (6)

,                   (7)

,                        (8)

где может быть . При этом, как обычно, пределы (конечные) в их левых частях существуют, если существуют пределы  и .

Докажем для примера (7).   

Пусть ; тогда

.                   (9)

Таким образом, предел в левой части (9) существует и равен правой части (9), а так как последовательность  стремится к  по любому закону, то этот предел равен пределу функции  в точке .

Т е о р е м а   1. Если функция  имеет предел, не равный нулю в точке , т. е.

,

то существует  такое, что для всех , удовлетворяющих неравенствам

,                        (10)

она удовлетворяет неравенству

.                                                    (11)

Больше того, она сохраняет там знак числа .

В самом деле, положив , найдем  такое, чтобы для , удовлетворяющих неравенствам (10), выполнялось

.                                             (12)

Поэтому для таких  

,

т. е. имеет место (11). Из (12) для указанных  следует

,

откуда

и

(сохранение знака).

З а м е ч а н и е. В § 8.12 будет дано более общее определение предела функции, заданной на произвольном множестве.

По определению функция  имеет предел в точке , равный числу , обозначаемый так:

(пишут еще ), если она определена на некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, ее самой, и если существует предел

,

какова бы ни была стремящаяся к  последовательность точек  из указанной окрестности  , отличных от  (см. § 8.1).

Другое эквивалентное определение заключается в следующем: функция  имеет в точке  предел, равный , если она определена в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, ее самой, и для любого  найдется такое , что

                                   (13)

для всех , удовлетворяющих неравенствам

.

Это определение, в свою очередь, эквивалентно следующему: для любого  найдется окрестность  точки  такая, что для всех , выполняется неравенство (13).

Очевидно, что если число  есть предел  в , то  есть предел функции  от  в нулевой точке:

,

и наоборот.

Рассмотрим некоторую функцию , заданную во всех точках окрестности точки , кроме, быть может, точки ; пусть  - произвольный вектор длины единица  и  - скаляр. Точки вида  образуют выходящий из  луч в направлении вектора .  Для каждого  можно рассматривать функцию

от скалярной переменной , где  есть число, зависящее от . Предел этой функции (от одной переменной )

,

если он существует, естественно назвать пределом  в точке  по направлению вектора .

Будем писать , если функция  определена в некоторой окрестности , за исключением, быть может, , и для всякого  найдется  такое, что , коль скоро .

Можно говорить о пределе , когда :

.                                 (14)

Например, в случае конечного числа  равенство (14) надо понимать в том смысле, что для всякого  можно указать такое , что для точек , для которых , функция  определена и имеет место неравенство .

Итак, предел функции  от  переменных определяется по аналогии так же, как для функции от двух переменных.

Равенства (6), (7), (8) и теорема 1 непосредственно распространяются на -мерный случай.