§ 8.3. Непрерывная функция

По  определению функция  непрерывна в точке , если она определена в некоторой  ее окрестности, в том числе в самой точке  и если предел  в этой точке равен ее значению в ней:

.                                  (1)

Условие непрерывности  в точке  можно записать в эквивалентной форме:

,          (1’)

т. е. функция  непрерывна в точке , если непрерывна функция  от переменных   при .

Можно ввести приращение  функции

в точке , соответствующее приращениям   аргументов

,

и на этом языке определить непрерывность  в : функция  непрерывна в  точке , если

.                      (1’)

Из формул (6) – (8) § 8.2 непосредственно следует

Т е о р е м а   1. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке  функций  и  есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного .

Постоянную  можно рассматривать как функцию

от переменных . Она непрерывна по этим переменным, потому что

.

Следующими по сложности являются  и . Их тоже можно рассматривать как функции от , и при этом они непрерывны. Например, функция  приводит в соответствие каждой точке  число, равное . Непрерывность этой функции в произвольной точке  может быть доказана так:

.

Если производить над функциями  и постоянными действия сложения, вычитания и умножения в конечном числе, то будем получать функции, называемые многочленами от . На основании сформулированных выше свойств многочлены от переменных  суть непрерывные функции от этих переменных для всех точек .

Отношение  двух многочленов от  есть рациональная функция от , очевидно, непрерывная всюду на  , за исключением точек  , где .

Функция

может быть примером многочлена от  третьей степени, а функция

есть пример многочлена от  четвертой степени.

Приведем пример теоремы, утверждающей непрерывность функции от непрерывных функций.

Т е о р е м а   2. Пусть функция  непрерывна в точке  пространства  (точек ), а функции

непрерывны в точке  пространства  (точек ). Пусть, кроме того,

.

Тогда функция

непрерывна  (по ) в точке .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как знак предела можно внести под знак характеристики непрерывной функции, то

.

Функцию мы будем называть элементарной функцией от переменных , если она может быть получена из этих переменных и констант  при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и операций , где  - элементарная функция от одной переменной (см. § 3.8). Функции

,

могут служить примерами элементарных функций.

Легко проверить, пользуясь теоремами 1 и 2, что функции  и  непрерывны на плоскости , функция же , очевидно, определена и непрерывна в тех точках , для которых дробь  положительна и конечна.

Из теоремы 1 § 8.2 и определения непрерывности функции в точке непосредственно следует

Т е о р е м а   3. Функция , непрерывная в точке  и не равная нулю в этой точке, сохраняет знак числа  в некоторой окрестности точки .

По определению функция  непрерывна в точке , если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе и в самой точке , и если предел ее в точке  равен ее значению в ней:

.                                   (2)

Условие непрерывности  в точке  можно написать в эквивалентной форме:

,                          (2’)

т. е. функция  непрерывна в точке , если непрерывна функция  от  в точке .

Можно ввести приращение  в точке , соответствующее приращению ,

и на его языке определить непрерывность  в : функция  непрерывна в , если

.   (2’’)

Из формул (6) – (8) § 8.2 непосредственно следует

Т е о р е м а   1’. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке  функций  и  есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного .

З а м е ч а н и е. Приращение  называют также полным приращением функции  в точке .

В пространстве  точек  зададим множество точек .

По определению  есть внутренняя точка множества , если существует открытый шар с центром в нем, полностью принадлежащий к .

Множество  называется открытым, если все его точки внутренние.

Говорят, что функции

непрерывные на отрезке , определяют непрерывную кривую в , соединяющую точки   и , где   .  Букву  называют параметром кривой.

Множество  называется связным, если любые его две точки ,  можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей .

Связное открытое множество называется областью.

Т е о р е м а   4. Пусть функция  определена и непрерывна на  (во всех точках ). Тогда множество  точек , где она удовлетворяет неравенству  (или ), какова бы ни была постоянная , есть открытое множество.

В самом деле, функция  непрерывна на  и множество всех точек , где , совпадает с . Пусть ; тогда существует шар

,

на котором , т. е. он принадлежит к  и точка  - внутренняя для .

Случай  доказывается аналогично.

П р и м е р. Функции

,

определены и непрерывны на .

В таком случае множество значений , для которых выполняются неравенства , - открытые множества. Первое из них есть внутренность эллипсоида в -мерном пространстве; второе при  есть внутренность квадрата, изображенного на рис. 95.

Рис. 95

Неравенства  определяют внешности указанных фигур.

Можно установить, что указанные множества связаны, т. е. они являются областями. При  это непосредственно видно.