§ 8.4. Частные производные и производная по направлению

Назовем приращением функции в точке по переменной с шагом величину

где - действительное число, достаточно малое, чтобы эта величина имела смысл.

Частной производной по в точке называется предел

если он существует. Частная производная есть обычная производная от функции , рассматриваемой как функция только от переменной при фиксированном .

Функция от двух переменных изображается в трехмерном пространстве, где задана прямоугольная система координат , поверхностью – геометрическим местом точек , где принадлежит области задания функции . Очевидно, что величина (если она существует) равна тангенсу угла наклона к оси касательной к сечению этой поверхности плоскостью в точке, имеющей абсциссу .

Совершенно аналогично можно определить частную производную по в точке :

Если функция , заданная на множестве , имеет частные производные во всех точках , то эти производные можно рассматривать как новые функции, заданные на .

Поэтому можно поставить вопрос о существовании частных производных у этих функций по какому-либо переменному в точке .

Если у функции существует частная производная снова по переменной , то ее называют частной производной второго порядка от функции по переменной и обозначают . Таким образом, по определению

Если существует частная производная от функции по переменной , то эту производную называют смешанной частной производной второго порядка от функции и обозначают символом

Для функции от двух переменных можно рассматривать четыре производных второго порядка

Если производные второго порядка (все или какая-либо одна) существуют для всех , то может возникнуть вопрос о существовании частных производных третьего порядка.

Вообще, частной производной -го порядка будем называть частную производную по какому-нибудь переменному от некоторой производной -го порядка. Например,

Частные производные будем называть частными производными первого порядка, а саму функцию - частной производной нулевого порядка.

Для частных производных будем также употреблять символику:

Назовем приращением в точке по переменной с шагом, величину

где - действительное число, достаточно малое, чтобы эта величина имела смысл. Частной производной от по в точке называется предел

если он существует. Частная производная есть обычная производная от функции , рассматриваемой как функция только от переменной при фиксированных .

Если - вектор с неотрицательными целыми координатами, то пишут

П р и м е р . Найти от функции .

Имеем

Естественно возникает вопрос, будут ли равны между собой частные производные, если они взяты по одним и тем же переменным, одно и тоже число раз, но в разном порядке.

Например, равны ли

В общем случае ответ на этот вопрос отрицательный. Однако имеет место следующая теорема, которую мы сформулируем для функции от двух переменных.

Т е о р е м а (о смешанных производных). Пусть функция определена вместе со своими частными производными в некоторой окрестности точки , причем и непрерывны в точке ; тогда

т. е. в этом случае результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле,

. (1)

Отсюда, применяя теорему Лагранжа по переменной к функции на промежутке , получаем:

. (2)

Законность применения теоремы Лагранжа обусловлена существованием частной производной в достаточно малой окрестности точки .

Так как по условию теоремы существует частная смешанная производная в окрестности точки , то снова применяя теорему Лагранжа, из (2) получаем:

. (3)

Кроме того, по условию непрерывна в точке , поэтому из (3) имеем

, (4)

где при .

Из (4) следует, что

. (5)

Совершенно аналогично, пользуясь непрерывностью в точке , доказывается равенство

. (6)

На основании (5) и (6), в силу равенства (1), заключаем, что утверждение теоремы верно.

З а м е ч а н и е 1. По индукции легко распространить эту теорему на любые непрерывные смешанные частные производные, которые отличаются друг от друга только порядком дифференцирования. Например,

З а м е ч а н и е 2. Если условие непрерывности отсутствует, то смешанные производные могут быть различными в точке . Рассмотрим функцию

Легко подсчитать, что

;

Далее, по определению,

т. е.

Отметим, что частные производные и разрывны в точке , например, при , откуда видно, что

Можно еще ввести понятие производной по направлению. В случае функции от одной переменной оно не употребляется.

Пусть есть произвольный единичный вектор. Производной от функции в точке по направлению называется предел

(если он существует). Подчеркнем, что при вычислении этого предела предполагается, что стремится к нулю, принимая положительные значения, поэтому можно еще сказать, что есть правая производная в точке от функции по .

Можно, как в случае функций от одной переменной, говорить о правой и левой частных производных по . Надо учесть, что производная по направлению положительной оси совпадает с правой частной производной по , однако производная по направлению отрицательной оси имеет знак, противоположный знаку левой производной по .