§ 8.5. Дифференцируемые функции

Для простоты будем рассматривать трехмерный случай; в -мерном случае рассуждения аналогичны. Случай  был специально рассмотрен в § 4.7.

Пусть на открытом множестве  (определение открытого множества см. § 8.3, мелкий шрифт)  задана функция , имеющая в точке  непрерывные частные производные первого порядка. Отсюда автоматически следует, что эти частные производные существуют в некоторой окрестности , хотя, быть может, они в точках, отличных от , не являются непрерывными. Рассмотрим приращение  в , соответствующее приращению , где  меньше  и  достаточно мало, чтобы точка  не выходила из указанной окрестности. Имеют место равенства (пояснения ниже):

                     (1)

       (2)

                         (3)

                                             (4)

                                                        (5)

   (6)

            (7)

.           (8)

Переход от (2) к первому члену (5) обосновывается так: функция  от  (при фиксированных ) имеет по условию производную (по ) на отрезке , и к ней применима теорема Лагранжа о среднем. Аналогичные пояснения ко второму и третьему членам (5). Переход от (5) к (6) чисто формальный: мы положили, например,

.

Но не формален здесь факт, что  при . Он следует из предположенной непрерывности  в . Наконец, переход от (6) к (7) сводится к утверждению, что имеет место равенство

.

В самом деле, так как , то при

.

Мы доказали важную теорему:

Т е о р е м а  1. Если функция  имеет непрерывные частные производные (первого порядка) в точке , то ее приращение в этой точке, соответствующее достаточно малому приращению , можно записать по формуле

,                 (9)

,

где частные производные взяты в точке .

Так как значения частных производных в правой части (9) не зависят от , то из условий теоремы 1 следует, что приращение  в , соответствующее приращению , может быть записано по формуле

                       (10)

где числа  не зависят от .

Сделаем следующее определение: если приращение функции  в точке  для достаточно малых  может быть записано в виде суммы (10), где  - числа, не зависящие от , то говорят, что функция  дифференцируема в точке . Таким образом, дифференцируемость функции в  заключается в том, что ее приращение  в этой точке можно записать в виде суммы двух слагаемых: первое слагаемое есть линейная функция  от   - она называется главной линейной частью приращения , второе же слагаемое вообще сложно зависит от приращений , но если стремить их к нулю, то оно будет стремиться к нулю быстрее, чем .

Легко видеть, что если функция  дифференцируема в точке , т. е. представляется равенством (10), то она имеет в этой точке частные производные первого порядка, равные

.               (11)

Например, первое равенство (11) доказывается так. Пусть приращение  в  записывается по формуле (10). Если считать в последней , то получится равенство . После деления его на  и перехода к пределу получим

.

Из сказанного следует

Т е о р е м а  2. Для того чтобы функция  была дифференцируемой в точке, необходимо, чтобы она имела в этой точке частные производные, и достаточно, чтобы она имела в этой точке непрерывные частные производные.

Напомним, что для функции  одной переменной существование у нее производной в точке  является необходимым и достаточным, чтобы она была дифференцируемой в этой точке.

Из (10) следует, что если функция дифференцируема в точке, то она обязательно непрерывна в этой точке.

П р и м е р  1. Функция , равная нулю на координатных плоскостях   и единице в остальных точках  имеет, очевидно, частные производные, равные нулю в точке , но она, очевидно, разрывна в этой точке и потому не может быть в ней дифференцируемой. Таким образом, одного существования частных производных в точке недостаточно для дифференцируемости и даже непрерывности в этой точке.

Отметим отличие многомерного случая от одномерного. При  свойство дифференцируемости  в  записывается в виде равенства , следовательно, если , то остаток стремится к нулю при  быстрее главной части. При  это уже не так, например при , каковы бы ни были числа  , одновременно не равные нулю, всегда можно стремить  к нулю так, чтобы при этом постоянно выполнялось равенство , но тогда в (10) остаточный член  вообще больше главного. Впрочем, если мы заставим  стремиться к нулю так, чтобы выполнялась пропорциональность , то тогда главная часть приращения будет величиной, имеющей строго порядок , и остаток будет стремиться к нулю быстрее главной части.

П р и м е р   2. Функция  непрерывна в точке . Однако легко видеть, что  не существует в этой точке. Следовательно,  не дифференцируема в точке .

Если функция  дифференцируема в точке , то главная линейная часть ее приращения в этой точке называется еще дифференциалом  в этой точке, соответствующим приращениям  независимых переменных. Он записывается так:

.

О других обозначениях мы будем еще говорить в § 8.9.