§ 8.6. Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Рассмотрим для примера функцию

от двух переменных, которую будем предполагать дифференцируемой.

Мы хотим вычислить эту функцию в точке , где

,

,

Приближенные значения этих чисел запишем в виде конечных десятичных дробей

,

.

Таким образом, имеют место приближенные равенства

с абсолютными погрешностями приближения, удовлетворяющими неравенствам

.

Подставив в функцию  вместо  соответственно , получим приближенное равенство

с абсолютной погрешностью

,

которую при достаточно малых  можно приближенно заменить дифференциалом функции  в точке :

.

Отсюда получаем неравенство

.                               (1)

На самом деле это неравенство приближенное, потому что мы получили его, пренебрегая некоторой величиной, правда, значительно меньшей, чем .

Обратим внимание на тот факт, что конечные десятичные дроби  при уменьшении ,  становятся все более и более громоздкими. Поэтому при вычислении числа  мы должны беспокоиться не только о том, чтобы оно приближало  должным образом, но и чтобы производимые при этом вычисления совершались возможно, экономно. В силу этого замечания из неравенства (1) следует, что если нужно, чтобы абсолютная погрешность  не превышала данную малую величину, которую мы обозначим через , то этого мы достигнем, взяв числа  ,  такими, чтобы выполнялись неравенства

 ,                       (2)

т. е. чтобы погрешность  распределялась между слагаемыми в правой части неравенства (1) поровну.

Из неравенств (2) видно, что вычисления будут наиболее экономными, если в качестве ,  (на самом деле , ) взять наибольшие возможные числа, удовлетворяющие этим неравенствам.

П р и м е р  1. Функция  имеет для ,  непрерывные частные производные, равные

.

Поэтому приближенное равенство

имеет абсолютную погрешность, которая при малых приращениях , если пренебречь величинами, значительно меньшими этих приращений, удовлетворяет неравенству

.

Если требуется, чтобы гарантированная погрешность была меньше , надо подобрать  так, чтобы

.

Мы видим, что числа  не обязательно должны быть равными. Если, например,  значительно меньше, чем , то соответственно надо взять  меньшим, чем . Иначе наши вычисления были бы неэкономными. Если бы, например, было, что

,

где , то оказалось бы, что

,

и при этом на вычисление второго слагаемого , ввиду излишней малости , мы потратили бы излишнюю работу. Между тем вычисления упростятся, если взять возможно большие , , удовлетворяющие неравенствам.

.

П р и м е р  2. Функция  имеет непрерывные частные производные , . Поэтому приближенное равенство

имеет абсолютную погрешность , которая при малых приращениях , если пренебречь величинами, значительно меньшими этих приращений, удовлетворяет соотношениям

.

Соответственно относительная погрешность удовлетворяет соотношениям

.

Мы видим, что при малых  и  можно считать, что относительная погрешность произведения не превышает сумму относительных погрешностей сомножителей.

П р и м е р   3. Функция  для  имеет непрерывные частные производные

.

Поэтому приближенное равенство

имеет абсолютную погрешность , которая при малых приращениях , если пренебречь величинами, значительно меньшими, чем , удовлетворяет соотношениям

.

Соответственно относительная погрешность удовлетворяет соотношениям

.

Таким образом, при малых  и  можно считать, что относительная погрешность частного не превышает сумму относительных погрешностей делимого и делителя.

П р и м е ч а н и е. Вопрос о точных оценках величин, которыми мы пренебрегли, решается на основании формулы Тейлора для функций многих переменных. Об этом будет идти речь в § 8.10.