§ 8.7. Касательная плоскость. Геометрический смысл дифференциала
Пусть задана поверхность
, описываемая функцией
, (1)
имеющей непрерывные частные производные на некоторой области плоскости
(можно считать, что
дифференцируема в каждой точке области).
Касательной плоскостью к поверхности
в ее точке
,
называется плоскость, имеющая уравнение
, (2)
где
- текущие координаты, а
,
- значения частных производных от
в точке
.
Обозначим плоскость (2) через
. Она проходит через точку
поверхности
и обладает свойством, отличающим ее от других плоскостей, проходящих через
.
Пусть
есть точка плоскости
, близкая к
(рис. 96). Прямая, проходящая через
параллельно оси
, пересекает
в точке
, а поверхность
- в точке
. Аппликата
равна
,
аппликата же
равна
.
Расстояние между точками
и
равно
. (3)
Расстояние же между точками
и
равно
.
Так как функция
по условию имеет непрерывные частные производные в точке
, то она дифференцируема в этой точке, поэтому правая часть (3) стремится к нулю быстрее, чем
, т. е.
.
Мы доказали, что касательная плоскость
к поверхности
в ее точке
проходит через эту точку и обладает свойством: расстояние в направлении оси
от произвольной точки
поверхности
до
есть
, где
- расстояние между точками
и
плоскости
.
Это свойство является характерным для касательной плоскости, потому что если некоторая плоскость
вида

обладает этим свойством, т. е. если для нее выполняется равенство

или, что все равно, равенство
,
то, как мы знаем,
дифференцируема в
и
,
т. е. плоскость
есть касательная плоскость к
.
Таким образом, для того чтобы поверхность
имела касательную плоскость в ее точке
, необходимо и достаточно, чтобы функция
была дифференцируемой в точке
.

Рис. 96
Правая часть уравнения (2) есть дифференциал
в точке 
,
соответствующий приращениям
. Левая же часть (2) есть соответствующее приращение аппликаты касательной плоскости
.
Таким образом, с геометрической точки зрения дифференциал функции
в точке
для приращений
есть приращение аппликаты точки касательной плоскости к поверхности
в точке
для тех же приращений.
З а м е ч а н и е. Если функция
не дифференцируема в точке
, хотя и имеет в ней частные производные, то плоскость (2) не имеет смысла называть касательной плоскостью к поверхности
в указанной точке – для нее разность
не стремится к нулю при
быстрее
. Например, если функция
равна нулю на осях
и
и единице в остальных точках плоскости
, то
и уравнение (2) есть
и разность
для всех точек
, не лежащих на осях
и
. Таким образом, эта разность даже не стремится к нулю при
.