8.8.2. Производная по направлению

Т е о р е м а  2. Если функция  дифференцируема в точке , то для нее имеет смысл производная по направлению любого единичного вектора , выражаемая формулой

                  (5)

( - углы, которые вектор  составляет с осями ).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно определению производной по направлению (см. § 8.4)  и в силу предыдущей теоремы

,

где частные производные взяты в точке .

З а м е ч а н и е   2. Теорема 2 не обратима, т. е. если функция  имеет производную в точке  по всем направлениям, то она не обязательно дифференцируема в этой точке. В качестве примера можно рассмотреть функцию  от двух переменных, равную нулю всюду, кроме точек , где она равна единице.

Если  - уравнения гладкой кривой , где параметр  - длина дуги, то величины

суть направляющие косинусы вектора касательной к . Поэтому величина

,

где  - дифференцируемая функция, есть производная по направлению указанного касательного вектора. Говорят еще, что  есть производная от  вдоль .