8.8.3. Градиент функции.
Введем вектор
, (6)
называемый градиентом функции
в точке
.
Формула (5) говорит, что производная от
в точке
по направлению единичного вектора
равна проекции градиента в этой точке на направлении
:
. (7)
Имеет место очевидное неравенство
(8)
для любого вектора
. Если
, что обычно бывает только в исключительных точках, то
для любого вектора
. Если же
(одна из частных производных от
не равна нулю), то (8) есть строгое неравенство для всех единичных векторов
, за исключением единичного вектора
, направленного в сторону 
. Таким образом,
,
,
. (9)
Из сказанного следует, что градиент функции
в точке
можно определить как вектор, обладающий следующими двумя свойствами:
1) длина его равна максимальной величине производной по направлению
в
(для дифференцируемой в
функции этот максимум существует и есть число неотрицательное);
2) если его длина не равна нулю, то он направлен в ту же сторону, что и вектор
, вдоль которого производная
максимальна.
П р и м е р 1. Пусть температура
тела
есть функция от точки
:

и пусть
в некоторой определенной точке
. Выпустим из этой точки вектор, равный
. Вдоль этого вектора скорость возрастания температуры
в
наибольшая, равная положительной величине
.
Если же в рассматриваемой точке
, то в любом направлении, выходящем из этой точки, скорость изменения температуры равна нулю.
З а д а ч а. Найти градиент функции
в точках
.