8.8.3. Градиент функции.

Введем вектор

,                        (6)

называемый градиентом функции  в точке .

Формула (5) говорит, что производная от  в точке  по направлению единичного вектора  равна проекции градиента в этой точке на направлении :

 .                  (7)

Имеет место очевидное неравенство

                                          (8)

для любого вектора . Если , что обычно бывает только в исключительных точках, то  для любого вектора . Если же  (одна из частных производных от  не равна нулю), то (8) есть строгое неравенство для всех единичных векторов , за исключением единичного вектора , направленного в сторону . Таким образом,

,

,

 .          (9)

Из сказанного следует, что градиент функции  в точке  можно определить как вектор, обладающий следующими двумя свойствами:

1) длина его равна максимальной величине производной по направлению  в  (для дифференцируемой в  функции этот максимум существует и есть число неотрицательное);

2) если его длина не равна нулю, то он направлен в ту же сторону, что и вектор , вдоль которого производная  максимальна.

П р и м е р   1. Пусть температура  тела  есть функция от точки :

и пусть  в некоторой определенной точке . Выпустим из этой точки вектор, равный . Вдоль этого вектора скорость возрастания температуры  в  наибольшая, равная положительной величине .

Если же в рассматриваемой точке , то в любом направлении, выходящем из этой точки, скорость изменения температуры равна нулю.

З а д а ч а. Найти градиент функции  в точках .