14. Восстановление последовательностей по дискретным отсчетам

На практике часто возникает задача восстановления последовательностей по множеству неполных наблюдений , , где  - число наблюдений;  - истинное значение последовательности в точке ;  - шум наблюдения. Для последовательностей с известной корреляционной функцией (КФ) известны оптимальные методы оценивания, наиболее известным из которых является фильтр Винера. Под оптимальностью здесь понимается минимум дисперсии ошибок оценивания при заданном расположении наблюдений . Очевидно, что разные схемы  расстановки наблюдений приводят к разным распределениям дисперсий ошибок оценивания. Таким образом существует задача определения такого варианта расположения наблюдений , при котором минимизируется величина , где  - функционал, зависящий от распределения дисперсий . Часто  определяет либо максимальную, либо среднюю дисперсию. Задача расстановки может быть решена с помощью итерационной процедуры

                                           (1)

где  - индекс -го наблюдения;  - номер итерации;  - шаг смещения;  - число наблюдений. Знак системы определяет все возможные не повторяющиеся комбинации индексов наблюдения: . На каждой итерации выбирается тот вариант расстановки, который приводит к уменьшению . Ясно, что с ростом наблюдений  число сочетаний  быстро увеличивается, что приводит к большому объему вычислений. Вместе с тем проведенный анализ показал, что все множество вариантов  можно сократить и реализовать алгоритм поиска на основе следующих четырех итерационных процедурах:

где знак «» определяет одновременное изменение индексов на величину шага . Приведенные формулы выполняются независимо. На каждой итерации запоминается вариант приводящий к уменьшению .

На рис. 1 показано распределение дисперсий ошибок оценивания при равномерной и оптимальной расстановке наблюдений. Функционал  определяет максимальное значение дисперсии, шаг .

Рис. 1. Распределение дисперсий ошибок оценивания:

1 – при равномерном расположении наблюдений;

2 – при оптимальном расположении наблюдений

Анализ результатов рис. 2 показывает уменьшение максимальной дисперсии ошибок оценивания при неравномерном расположении наблюдений. Это объясняется тем, что на краях интервала дисперсия, как правило, больше. Следовательно ее можно уменьшить за счет изменения интервала между наблюдениями. Аналогично можно выполнить расстановку наблюдений минимизирующих другую функцию потерь , например среднюю. Алгоритм расстановки при этом остается неизменным.