2.5. Скалярный фильтр Калмана

         Рассмотрим теперь возможности построения рекуррентных оценок марковских СП, заданных стохастическими разностными уравнениями вида (1.48). Для этого вначале попытаемся решить наиболее простую задачу оценивания скалярной авторегрессионной последовательности (1.42)   по наблюдениям суммы , информационного параметра  и гауссовского белого шума . Заметим, что в частном случае , т.е.  , решение этой задачи должно совпадать с оценками (2.13) или (2.16) постоянного параметра .

         Поставленная задача нахождения текущей оценки  изменяющегося параметра , на основе наблюдений  ,  обычно называется задачей фильтрации СП . В более общем случае можно рассматривать оценки   произвольного  -го элемента  СП. Тогда при  говорят об интерполяции; при  – об экстраполяции СП. Для всех видов задач особый интерес представляют эффективные, с точки зрения вычислений, рекуррентные оценки, которые удается представить в виде функции  предыдущей оценки  и очередного наблюдения .

         Для получения процедуры рекуррентной фильтрации предположим, что после  наблюдения  известны оценка  параметра  и дисперсия ошибки .Будем искать оценку  параметра  на следующем (- м) шаге в виде линейной комбинации

,                (2.33)

известной оценки и очередного наблюдения . Коэффициенты  и  этого уравнения выберем из условия минимума дисперсии  ошибки

.

Полагая , получаем формулу

,                                            (2.34)

в которой отражены три составляющие ошибки оценивания на -м шаге. Первое слагаемое учитывает ошибку    на предыдущем шаге. Второе определяется величиной  изменения  параметра, т.е. динамикой СП. Составляющая  ошибки связана с помехой , возникающей при наблюдении . Поскольку все слагаемые (2.34) являются независимыми СВ, то дисперсия ошибки фильтрации будет равна сумме

                                ,                                                

где . Минимальное значение дисперсии ошибки  находится из уравнения  и достигается при , где . Замечая, что  , и учитывая , получим после подстановки оптимальных значений коэффициентов  и  в формулу (2.33) следующий алгоритм фильтрации:

,        (2.35)

,               (2.36)

где  . В уравнении (2.35) величина  является экстраполированной на один шаг оценкой параметра  (прогнозом ) на основе наблюдений . Действительно, до наблюдения имеется лишь оценка  и описание  одношагового изменения параметра. Поскольку  – последовательность независимых СВ, то лучшим прогнозом будет . Дисперсия ошибки прогноза

в точности равна  . Такой же вывод следует из формулы (2.36) для дисперсии ошибки оценивания, если положить . В этом случае , поскольку наблюдение  поражено помехой  c  и не приводит к уменьшению дисперсии  прогноза.

С учетом приведенных рассуждений определим начальные условия для алгоритма (2.35), (2.36). До первого наблюдения  известно, что  подчиняется нормальному закону распределения с нулевым средним и дисперсией . Следовательно, лучший прогноз , а дисперсия ошибки этого прогноза  . Таким образом, коэффициент    для рекуррентной процедуры (2.35) определяется по формуле . Начальные условия можно получить также с помощью минимизации дисперсии  ошибки  на первом шаге оценивания. Минимум  достигается при , т.е. при .

         Анализируя вывод алгоритма фильтрации (2.35), (2.36), необходимо заметить, что представление (2.33) текущей оценки  в виде линейной комбинации предшествующей оценки  и очередного наблюдения  резко ограничивает класс возможных процедур. В связи с этим полученный результат (2.35) может рассматриваться как наилучшее (в смысле минимума дисперсии ошибки) правило лишь в довольно узком классе рекуррентных алгоритмов оценивания изменяющегося параметра.

         Замечательным достижением Р.Калмана и Р.Бьюси [11,12] было доказательство строгой оптимальности алгоритма (2.35) в классе любых (не только рекуррентных) процедур оценивания параметра , заданного скалярными или векторными уравнениями авторегрессии. Поэтому рекуррентное правило оценивания (2.35), (2.36), а также его многомерные обобщения, часто называют фильтром Калмана.

Рис. 2.4. Структурная схема фильтра Калмана

         Анализ соотношения (2.35) и соответствующей ему структурной схемы на рис.2.4 показывает, что в фильтре Калмана реализуется  идея предсказания-коррекции. Предыдущая оценка  экстраполируется на один шаг вперед и затем используется для получения оптимальной оценки . При этом из очередного наблюдения  вычитается экстраполированное значение    и определяется сигнал ошибки , включающий в себя ошибку прогноза    и погрешность  наблюдения. После умножения суммарной ошибки на коэффициент , учитывающий дисперсию каждого из слагаемых, образуется сигнал коррекции. Результирующая оценка   получается после добавления сигнала коррекции к экстраполированному значению .

         Для иллюстрации особенностей рекуррентного оценивания рассмотрим зависимости дисперсий ошибки  от номера шага , показанные на рис.2.5. При расчетах предполагалось, что изменение параметра  описывается авторегрессионной моделью  с постоянными параметрами  и . Mодель наблюдений  включает белый гауссовский шум  с постоянной дисперсией    (рис. 2.5,а) или с изменяющейся на каждом шаге дисперсией  (рис.2.5, б). До начала наблюдений наилучшей оценкой является математическое ожидание  с дисперсией . После первого шага дисперсия ошибки уменьшается: . Затем вычисляется дисперсия ошибки экстраполяции  для второго шага наблюдений и т.д. Как следует из графиков рис.2.5,а, при стационарных наблюдениях по мере роста  дисперсия ошибки стремится к некоторому установившемуся значению. Если же дисперсия помехи  изменяется и составляет для четных шагов , а для нечетных , то зависимость величины  от номера шага также носит колебательный характер (рис.2.5, б).

Рис. 2.5.  Изменение дисперсии ошибки на первых шагах фильтрации при стационарном (а) и нестационарном (б) шуме

Поскольку установившийся режим часто является основным для фильтра Калмана, рассмотрим этот случай более подробно. При постоянных параметрах авторегрессии  и шума наблюдений  дисперсия ошибки  приближается к постоянной величине , которую можно найти из условия . Действительно, с учетом этого условия рекуррентное соотношение (2.36) преобразуется в квадратное уравнение . Положительное решение можно записать в виде:

,                                          (2.37)

где  – отношение дисперсии полезного параметра к дисперсии шума.

         На рис.2.6 представлено семейство зависимостей относительной дисперсии ошибки фильтрации в установившемся режиме от величины коэффициента корреляции  соседних значений оцениваемого параметра. Как видно из графиков, для получения малых ошибок необходимы либо большие отношения сигнал/шум  , либо близкие к единице коэффициенты корреляции . При  приведенные графики асимптотически приближаются к прямым линиям с одинаковым наклоном в логарифмическом масштабе (рис.2.6). Для этого случая уравнение (2.37) упрощается:

.

Рис.2.6. Дисперсия ошибки фильтра Калмана