2.6. Векторный фильтр Калмана

Возможности применения рассматриваемых методов калмановской фильтрации значительно расширяются при переходе к многомерным системам. Вместе с тем для получения основных уравнений рекуррентного оценивания векторных СП достаточно повторить преобразования, уже выполненные при выводе алгоритма (2.35). Поэтому остановимся лишь на некоторых особенностях синтеза многомерного фильтра.

         Для описания -мерной информационной СП воспользуемся векторным авторегрессионным уравнением (1.48): .

         Оценка СП   производится на основе анализа последовательности  - мерных наблюдений

          (2.38)

где -матрица; -мерная некоррелированная гауссовская СП с нулевым средним и .

         Записывая рекуррентную процедуру формирования оценки в виде  аналогичном (2.33), найдем следующее выражение для ошибки фильтрации , где  – единичная диагональная матрица. Оптимизация оценки связана с поиском матриц , для которых минимальна ковариационная матрица  ошибок фильтрации:

,                      (2.39)

где -матрица; . Анализ (2.39) показывает, что наилучшим является выбор . Обозначая минимальное значение   через , можно записать уравнение для рекуррентной оценки CП в виде:

,              (2.40)

,

где  

.

         Применение алгоритма (2.40) предполагает нахождение обратной матрицы  размером  на каждом шаге фильтрации. В некоторых случаях удобно использовать другую форму представления коэффициентов

,                                        (2.41)

для которой размер обращаемой матрицы составляет  элементов. С помощью непосредственной подстановки нетрудно убедиться в тождественности вычислений матриц  и  по формулам (2.40) и (2.41).

Полученные результаты (2.40), (2.41) обобщают алгоритм фильтрации (2.35), (2.36) скалярной последовательности. Сравнение этих выражений показывает, что структура фильтра Калмана и наиболее существенные особенности процесса рекуррентного оценивания сохраняются и в многомерном случае. В частности, разность  следует рассматривать как векторный сигнал ошибки, который взвешивается с учетом соотношения элементов ковариационных матриц ошибок фильтрации  и помехи  и добавляется к прогнозированному значению    оцениваемого -мерного параметра.

         В заключение рассмотрим задачу рекуррентного оценивания изменяющегося параметра , заданного уравнениями

,    (2.42)

аналогичными (2.32). При этой оценка параметра  осуществляется на основе наблюдений . Для решения поставленной задачи введем вектор информационных параметров   и запишем модель наблюдений в виде: , где . Уравнения (2.42) также представим в векторной форме , где ; ; .

Введенные обозначения дают возможность применить формулы (2.40) для построения алгоритма фильтрации CП . Раскрывая векторные обозначения в (2.40), можно представить рекуррентные оценки параметров в виде:

,

Рис. 2.7. Реализации случайных последовательностей

где  и  – элементы ковариационной матрицы ошибок . Характерные реализации СП  и , полученные с помощью вычислений по найденным формулам при , приведены на рис. 2.7. По мере увеличения количества шагов оценивания  дисперсии ошибок фильтрации (2.40) убывают так же, как и в одномерном случае (рис.2.5,а), стремясь к некоторым предельным значениям.