3.2. Критерий Байеса

         Одним из возможных способов построения критерия оптимальности может быть байесовский подход, общая методология которого рассматривалась в предыдущем разделе применительно к задачам оценивания параметров. Точно так же основой байесовского подхода к проблемам обнаружения является введение функции потерь, которая приписывает каждой из четырех возможных ситуаций (рис.3.2) определенную плату. При этом обычно правильным решениям соответствует нулевой размер штрафа. Ошибке первого рода поставим в соответствие  плату , а ошибке второго рода – плату размером . Тогда средние потери составят величину

,                           (3.4)

которая и принимается как критерий качества обнаружения. При этом обнаружитель, для которого средние потери  минимальны, называется оптимальным байесовским обнаружителем.

         Подставляя выражения (3.1) и (3.2) в формулу (3.4), получим следующую связь средних потерь с видом критической области:

.             (3.5)

Очевидно, потери минимальны, если интеграл

    (3.6)

достигает максимального значения.

         Какие же точки пространства  возможных исходов эксперимента следует включить в область  для максимизации выражения (3.6)? Простой анализ показывает, что при наблюдении  следует проверить – положительным или отрицательным окажется подынтегральное выражение (3.6). Если

,           (3.7)

то такую точку  следует отнести к критической области . Действительно, после добавления такой точки вместе с некоторой окрестностью к области  возрастает интеграл (3.6) по этой области и, следовательно, уменьшаются средние потери (3.5). Таким образом, неравенство (3.7) определяет все точки критической области . Но это, в свою очередь, означает, что для наблюдений, удовлетворяющих неравенству (3.7), следует принимать верной гипотезу , а для остальных точек – гипотезу . Переписывая неравенство (3.7), определяющее критическую область, в форме

,                                              (3.8)

где  – отношение правдоподобия;  ; можно заметить, что формула (3.8) определяет алгоритм обработки входных данных . Действительно, оптимальный обнаружитель должен формировать на основе наблюдений  отношение правдоподобия  и производить сравнение этого отношения с пороговым уровнем . Если  , то выносится решение в пользу гипотезы . При  принимается, что справедлива гипотеза . Так же, как и при оценивании параметров, можно вместо отношения правдоподобия сравнивать с пороговым уровнем любую монотонную функцию, например, . При этом достаточно изменить величину порога обнаружения и положить, что  .

         Рассмотрим пример решения задачи поcледетекторного обнаружения радиосигнала по совокупности независимых наблюдений . При отсутствии сигнала эти наблюдения подчиняются закону распределения Релея:

.                                                  (3.9)

Появление полезного сигнала вызывает увеличение параметра  в  раз, где  – отношение сигнал/шум. При этом

. (3.10)

Для нахождения оптимального алгоритма обнаружения составим отношение правдоподобия

и будем сравнивать его с порогом , зависящим от априорных вероятностей наличия  и отсутствия  полезного сигнала и стоимостей  и  ошибок. После логарифмирования можно записать оптимальную процедуру обнаружения в виде сравнения с пороговым значением  суммы квадратов наблюдений, т.е.

   (3.11)