3.2. Критерий Байеса
Одним из возможных способов построения критерия
оптимальности может быть байесовский подход, общая методология которого
рассматривалась в предыдущем разделе применительно к задачам оценивания
параметров. Точно так же основой байесовского подхода к проблемам обнаружения
является введение функции потерь, которая приписывает каждой из четырех
возможных ситуаций (рис.3.2) определенную плату. При этом обычно правильным
решениям соответствует нулевой размер штрафа. Ошибке первого рода поставим в
соответствие плату ,
а ошибке второго рода – плату размером . Тогда средние потери составят величину
, (3.4)
которая и принимается как критерий качества обнаружения. При этом
обнаружитель, для которого средние потери минимальны, называется оптимальным
байесовским обнаружителем.
Подставляя выражения (3.1) и (3.2) в формулу (3.4), получим
следующую связь средних потерь с видом критической области:
. (3.5)
Очевидно,
потери минимальны, если интеграл
(3.6)
достигает максимального значения.
Какие же точки пространства возможных исходов эксперимента следует
включить в область для
максимизации выражения (3.6)? Простой анализ показывает, что при наблюдении следует проверить –
положительным или отрицательным окажется подынтегральное выражение (3.6).
Если
, (3.7)
то такую точку следует отнести к критической области . Действительно, после
добавления такой точки вместе с некоторой окрестностью к области возрастает интеграл
(3.6) по этой области и, следовательно, уменьшаются средние потери (3.5). Таким
образом, неравенство (3.7) определяет все точки критической области . Но это, в свою
очередь, означает, что для наблюдений, удовлетворяющих неравенству (3.7),
следует принимать верной гипотезу , а для остальных точек – гипотезу . Переписывая
неравенство (3.7), определяющее критическую область, в форме
, (3.8)
где –
отношение правдоподобия; ; можно заметить, что формула (3.8)
определяет алгоритм обработки входных данных . Действительно, оптимальный обнаружитель
должен формировать на основе наблюдений отношение правдоподобия и производить сравнение
этого отношения с пороговым уровнем . Если , то выносится решение в пользу
гипотезы . При
принимается,
что справедлива гипотеза . Так же, как и при оценивании
параметров, можно вместо отношения правдоподобия сравнивать с пороговым
уровнем любую монотонную функцию , например, . При этом достаточно изменить величину
порога обнаружения и положить, что .
Рассмотрим пример решения задачи поcледетекторного
обнаружения радиосигнала по совокупности независимых наблюдений . При отсутствии
сигнала эти наблюдения подчиняются закону распределения Релея:
. (3.9)
Появление полезного сигнала вызывает увеличение параметра в раз, где – отношение сигнал/шум. При этом
. (3.10)
Для нахождения оптимального алгоритма обнаружения составим отношение
правдоподобия
и будем сравнивать его с порогом , зависящим от априорных вероятностей
наличия и
отсутствия полезного
сигнала и стоимостей и
ошибок. После
логарифмирования можно записать оптимальную процедуру обнаружения в виде
сравнения с пороговым значением суммы квадратов наблюдений, т.е.
(3.11)
|