3.3. Критерий Неймана-Пирсона

         Одним из существенных недостатков байесовского правила обнаружения сигналов является большое количество априорной информации о потерях и вероятностях состоянии объекта, которая должна быть в распоряжении наблюдателя. Этот недостаток наиболее отчетливо проявляется при анализе радиолокационных задач обнаружения цепи, когда указать априорные вероятности наличия цели в заданной области пространства и потери за счет ложной тревоги или пропуска цели оказывается весьма затруднительным. Поэтому в подобных задачах вместо байесовского критерия обычно используется критерий Неймана-Пирсона. Согласно этому критерию выбирается такое правило обнаружения, которое обеспечивает минимальную величину вероятности пропуска сигнала (максимальную вероятность правильного обнаружения) при условии, что вероятность ложной тревоги не превышает заданной величины . Таким образом, оптимальное, в смысле критерия Неймана-Пирсона, правило обнаружения минимизирует

                (3.12)

при дополнительном ограничении

.               (3.13)

         Для поиска оптимальной процедуры обработки данных преобразуем задачу на условный экстремум (3.12) при условии (3.13) к задаче на безусловный экстремум. С этой целью воспользуемся методом множителей Лагранжа [27]. Введем множитель Лагранжа  и запишем функцию Лагранжа

. (3.14)

После преобразований, аналогичных выводу формулы (3.5), соотношение (3.14) можно переписать в виде:

.

Сравнение полученного выражения с формулой (3.5) показывает, что минимум функции Лагранжа достигается, если в качестве критической области выбрать совокупность точек , удовлетворяющих неравенству

.        (3.15)

При этом множитель , являющийся пороговым значением, должен находиться из условия (3.13) равенства вероятности ложной тревоги заданной величине .

         Из сравнения (3.15) и (3.8) можно заключить, что оптимальное, в смысле критерия Неймана-Пирсона, правило обнаружения отличается от байесовского лишь величиной порогового уровня, с которым производится сравнение отношения правдоподобия.

         В качестве примера построения обнаружителя (3.15) рассмотрим задачу проверки гипотезы :

,

при альтернативе

.

Такая задача возникает в тех случаях, когда появление полезного сигнала вызывает изменение среднего значения нормального шума на величину . При независимых отсчётах  входного процесса отношение правдоподобия может быть записано в виде

.

После логарифмирования получаем следующий алгоритм обнаружения сигнала:

(3.16)

причем пороговый уровень  выбирается из условия

.                    (3.17)

Поскольку сумма  нормальных случайных величин (СВ) подчиняется нормальному закону распределения, то при отсутствии сигнала можно записать следующее выражение для условной ПРВ . С учетом формул табл.1 соотношение (3.17) перепишется в форме . Из этого равенства по таблицам функции Лапласа  [1–4] можно определить величину порогового уровня . Так, при  получим ; при .