1. Дискретизация с использованием формул численного интегрированияНаиболее простым по своей идее способом получения цифровых моделей непрерывных систем является замена интегралов вида (3.3) — (3.8) соответствующими суммами. Для замены интегралов суммами существует большое количество методов (методы численного интегрирования). Рассмотрим применение формул численного интегрирования на примере выражения (3.5), когда функция Дискретные значения сигнала на выходе системы в точках
Пусть дискретный входной сигнал
где Аналогично осуществляется дискретизация и других уравнений (3.4) — (3.8). Например, уравнению (3.4) соответствует следующий дискретный эквивалент:
Согласно алгоритму (3.9) преобразование дискретного входного процесса Существует ряд других методов численного интегрирования, более точных по сравнению со способом прямоугольников (см., например, [3]). Из них часто применяются метод трапеций и метод Симпсона (формула парабол). При использовании метода трапеций формулы (3.9) и (3.10) имеют соответственно вид
где
При использовании метода Симпсона нужно выбрать параметр
где
В общем случае применение методов численного интегрирования сводится к различному выбору коэффициентов
т. е. все В задачах, не требующих большой точности решения, удобно использовать формулу прямоугольников как наиболее простую. Погрешность интерполяции систем по способу прямоугольников будет оценена ниже. Как было показано в § 2.2, п. 2, аппроксимация, по способу прямоугольников не сопровождается погрешностью, если функции Следует заметить, что если подынтегральная функция на концах интервала интегрирования обращается в нуль, например при Формулы (3.9) — (3.13) описывают поведение некоторых дискретных линейных фильтров (см. § 2.1). Передаточные функции этих фильтров, определяемые как отношение
при одностороннем ограничении,
при двустороннем ограничении по времени импульсной переходной характеристики системы. Формулы (3.14), (3.15) непосредственно получаются из формул (3.9) — (3.13), если Структурная схема дискретного фильтра с передаточной функцией (3.15) изображена на рис. 2.1 (если заменить Процесс дискретной фильтрации по схеме рис. 2.1 можно легко реализовать на ЦВМ в виде стандартной программы, входными параметрами которой являются Вычисления по схеме рис. 2.1 можно производить также с помощью готовой стандартной операции перемножения матриц. Действительно, пусть входной дискретный сигнал
где Запись матриц для случая В выражении (3.16) матрица порядка
В изложенной процедуре замены непрерывной системы эквивалентной дискретной системой использован косвенный путь, основанный на применении методов численного интегрирования к интегралам свертки (3.4) — (3.8). Дискретный фильтр, приближенно заменяющий непрерывный фильтр, можно получить также несколько иным путем: непосредственно из рассмотрения импульсной системы, эквивалентной непрерывной системе.
|