1. Метод огибающих. Комплексные линейные фильтрыПриведем некоторые, необходимые для дальнейшего сведения, относящиеся к методу огибающих. Согласно методу огибающих [31] комплексная амплитуда
где Выражение (3.83) является комплексным аналогом интеграла свертки (3.3) (интеграла Дюамеля). Простой вывод формулы (3.83) имеется в работе [88]. В частном случае, когда входной сигнал точно настроен на среднюю частоту системы и имеет лишь амплитудную модуляцию
В этом случае формула свертки для амплитуд отличается от формулы свертки для мгновенных значений лишь множителем Следует отметить, что равенство (3.83) является приближенным. Однако погрешностью метода огибающих можно пренебречь, если функции Если функции
Если же импульсная переходная характеристика системы имеет конечную длительность (или допускает аппроксимацию функцией, ограниченной во времени), то
где Существенным достоинством формулы комплексной свертки (3.83) является то, что она позволяет при линейных преобразованиях высокочастотных процессов оперировать лишь с их медленно меняющимися законами модуляции практически без потери точности и информации, заключенной в высокочастотных колебаниях. При этом несущая частота, не содержащая информации, исключается из рассмотрения. В этом и состоит сокращение избыточности при использовании метода огибающих. Комплексную свертку (3.83) можно рассматривать как описание поведения так называемого линейного комплексного фильтра [34, 43], преобразующего комплексный сигнал
где Комплексный сигнал
представляющих собой вещественную и мнимую части комплексного сигнала (квадратурные компоненты сигнала). Представляя выходной комплексный сигнал
Отсюда
или в операторной форме
где Огибающая и фаза колебания
Система уравнений (3.87) легко приводится к матричной форме
Из соотношений (3.86) — (3.88) следует, что комплексный фильтр является частным случаем двумерного линейного вещественного фильтра (см. § 2.8). Если в общем случае элементы передаточной матрицы двумерного линейного фильтра могут быть произвольными, то элементы передаточной матрицы комплексного фильтра обладают свойством симметрии:
Структурная схема двумерного фильтра, эквивалентного комплексному фильтру, показана на рис. 3.4. Такой двумерный фильтр называется фильтром с антисимметричными прямыми перекрестными связями [43]. Рис. 3.4 В дальнейшем мы будем пользоваться в основном комплексной формой записи, переходя к вещественной лишь на последних этапах. Комплексная форма записи узкополосной фильтрации по методу огибающих предпочтительнее, чем матричная форма записи, так как первая полностью совпадает с обычной формой записи одномерной вещественной фильтрации. Использование ее позволяет обобщить данные выше методы цифрового моделирования линейных динамических систем на случай моделирования узкополосных линейных систем, описываемых по методу огибающих.
|