3-2 ТРЕХМЕРНОЕ МАСШТАБИРОВАНИЕ

Диагональные элементы -матрицы обобщенного преобразования задают локальное и общее масштабирование. Для иллюстрации этого рассмотрим преобразование

, (3-3)

которое показывает действие локального масштабирования. Ниже приводится пример.

Пример 3-1 Локальное масштабирование

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед , показанный на рис. 3-1а со следующими однородными координатами вершин:

Чтобы получить единичный куб из с помощью локального масштабирования, необходимы масштабные множители 1/2, 1/3, 1 вдоль осей , , соответственно. Преобразование локального масштабирования задается матрицей

Рис. 3-1 Трехмерные масштабирования.

Результирующий куб имеет следующие однородные координаты вершин:

Заметим, что однородный координатный множитель равен единице для каждой из преобразованных вершин. Результат масштабирования показан на рис. 3-1b.

Общее масштабирование можно осуществить, воспользовавшись четвертым диагональным элементом, т.е.

. (3-4)

Обычные или физические координаты имеют вид

Этот результат снова иллюстрируется на примере.

Пример 3-2 Общее масштабирование

Для общего масштабирования единичного куба, изображенного на рис. 3-1b, на множитель два (удвоение размера), необходимо преобразование (см. (3-4))

Полученный в результате параллелепипед имеет следующие однородные координаты вершин:

Заметим, что однородный координатный множитель для каждой из преобразованных вершин равен 0.5. Таким образом, для того чтобы получить обычные или физические координаты, каждый вектор необходимо разделить на . Результат, показанный на рис. 3-1с, равен

Заметим здесь, что, как и в случае двумерного общего масштабирования, однородный координатный множитель не равен единице. По аналогии с предыдущим обсуждением (см. разд. 2-18) это означает преобразование из физического объема в другой объем в 4-мерном пространстве. Преобразованные физические координаты получаются проецированием через центр 4-мерной координатной системы обратно в физический объем . Как и ранее, если , происходит однородное расширение. Если , происходит однородное сжатие координатного вектора.

Такой же результат можно получить, используя одинаковые коэффициенты локальных масштабирований. В этом случае матрица преобразования имеет вид

Отметим, что здесь однородный координатный множитель равен единице, т.е. . Таким образом, все преобразование происходит в физическом объеме .