3-4 ТРЕХМЕРНОЕ ВРАЩЕНИЕ

Прежде чем переходить к трехмерному вращению вокруг произвольной оси, рассмотрим вращение вокруг каждой из координатных осей. При вращении вокруг оси  остаются неизменными -координаты координатного вектора. Фактически вращение происходит в плоскостях, перпендикулярных оси .

Рис. 3-2 Трехмерные повороты.

Аналогичным образом вращение вокруг осей  и  происходит в плоскостях, перпендикулярных осям  и  соответственно. Преобразование координатного вектора в каждой из этих плоскостей задается указанной в (2-29) матрицей двумерного вращения. Эта матрица и неизменность координаты  при вращении вокруг оси  позволяют записать -преобразование однородных координат при повороте на угол  в виде

.           (3-6)

Вращение считается положительным в смысле правила правой руки, т.е. по часовой стрелке, если смотреть из начала координат в положительном направлении оси вращения. На рис. 3-2b показан параллелепипед, полученный поворотом на  вокруг оси  параллелепипеда с рис. 3-2а.

Аналогично матрица преобразования для вращения вокруг оси  на угол  имеет вид

.         (3-7)

При вращении на угол  вокруг оси  преобразование имеет вид

.           (3-8)

Заметим, что в (3-8) знаки у синусов противоположны знакам этих членов в равенствах (3-6) и (3-7). Это нужно для того, чтобы выполнялось соглашение о положительном направлении по правилу правой руки.

Из равенств (3-6)-(3-8) следует, что детерминант каждой из матриц преобразований равен +1, что и необходимо для чистого вращения. Более полно эти результаты проиллюстрирует пример.

Пример 3-4 Вращение Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, изображенный на рис. 3-2а. Матрица  координатного вектора имеет вид . В данном случае строка, отмеченная буквой  в матрице , соответствует точке  на рис. 3-2. Равенство (3-6) для поворота на  вокруг оси  приводит к следующему преобразованию: . Применение этого преобразования дает новые координаты: . Отметим, что, как и должно быть, -компоненты  и  идентичны. Результат данного поворота изображен на рис. 3-2b. Для поворота на угол  вокруг оси  уравнение (3-7) дает следующую матрицу преобразования: . Снова применив преобразование к исходному параллелепипеду, получим новые координаты: . Заметим, что в этом случае идентичны -компоненты  и . Результат изображен на рис. 3-2 с.

Так как трехмерные вращения получаются с помощью перемножения матриц, то они не коммутативны; т. е. порядок перемножения влияет на конечный результат (см. разд. 2-12). Чтобы показать это, рассмотрим два последовательных поворота на один и тот же угол - сначала вокруг оси , затем вокруг оси . Используя уравнения (3-6) и (3-8) с , мы получим

.      (3-9)

С другой стороны, обратная операция, т.е. поворот вокруг оси , а потом вокруг оси  с углом  дает

.   (3-10)

Сравнивая правые части (3-9) и (3-10), видим, что они не одинаковы. Если надо сделать более одного поворота, то следует помнить о некоммутируемости трехмерных вращений.

На рис. 3-3с и 3-3d штриховой линией изображен результат преобразования, состоящего из двух поворотов на  при помощи произведения матриц из (3-9) для объекта, показанного на рис. 3-3а. Осуществляя повороты, заданные (3-10), в обратном порядке, получим фигуры, нарисованные сплошными линиями на рис. 3-3b и 3-3d. Рис. 3-3d наглядно показывает, что при изменении порядка вращения получаются различные результаты. Приведенный ниже численный пример иллюстрирует это.

Пример 3-5 Комбинированные повороты Объект на рис. 3-2а имеет следующие координатные векторы: . Общая матрица для вращения сначала вокруг оси  на угол , а затем вокруг оси  на угол  задается уравнением (3-9) в виде . Преобразованные координатные векторы равны . Преобразованный объект изображен штриховой линией на рис. 3-3d.             Общая матрица для вращения сначала вокруг оси  на угол , а затем вокруг оси  на угол  задается уравнением (3-10) в виде . В этом случае преобразованные координатные векторы равны . Преобразованный объект изображен сплошными линиями на рис. 3-3d.             Сравнение двух числовых результатов также ясно показывает, что ориентация преобразованных объектов совершенно различна. Следовательно, порядок перемножения матриц очень важен.

Рис. 3-3 Некоммутативность трехмерных поворотов.