§ 7.2. Изображение простейших функций и свойства изображенийЕдиничной функцией или функцией Хевисайда называется функция Очевидно, что показатель роста этой функции
Таким образом,
Аналогично для функции
Отсюда
т. e.
Попутно мы доказали, что
откуда
Теорема 1 (подобия). Если В самом деле,
Ha основании теоремы 1 получаем
Теорема 2 (свойство линейности). Имеет место равенство
где Это свойство вытекает из соответствующего свойства несобственного интеграла. Отметим, что если показатели роста функций Пример 1. Найти изображение функции
В силу (1), (4) и теоремы 2 имеем
Пример 2. Найти оригинал изображения
Представим изображение
Имеем
Следовательно, оригинал (по теореме 1 § 7.1)
Теорема 3 (смещение изображения).
Доказательство очевидно. Пример 3. Найти изображение функций Так как
то по теореме 3
Совершенно аналогично, используя формулы (5) и (1), имеем
Пример 4. Найти Используя теорему 2 и равенство (8), имеем
Аналогично
Пример 5. Найти оригинал для изображения
Имеем
Теорема 4 (дифференцирование изображения)
Доказательство. Если существует при любом
Отсюда
Пример 6. Так как
т. е.
Продолжая дифференцирование, получим
Если
где
При натуральном Пример 7. Найти изображение функции Имеем
или
Теорема 5 (о дифференцировании оригинала). Справедлива формула
в предположении, что функция
потому что
Следствие 1. Справедлива формула
при условии, что В частности, при
имеет место
Пример 8. Найти изображение функции Пусть
Но
Следовательно,
откуда
Этот же результат мы получим, если воспользуемся равенством
Теорема 6 (интегрирование оригинала).
В самом деле, изменяя порядок интегрирования, имеем
Теорема 7 (интегрирование изображения). Если интеграл
Доказательство. Изменяя порядок интегрирования, получаем
Замечание 1. Мы применяем здесь и ниже изменение порядка интегрирования. Согласно теореме Фубини, которую мы здесь не доказываем, эта операция законна, если полученный после изменения кратный интеграл абсолютно сходится. Кроме того, мы считаем, что путь интегрирования лежит целиком в полуплоскости Следствие 2.
если сходятся соответствующие несобственные интегралы. Пример 9. Найти изображение функции Имеем
По теореме 6
Пример 10. Найти изображение функции Нам известно, что
Пример 11. Найти интеграл
Используя пример 10 и следствие 2, получаем
Теорема8 (запаздывание оригинала). Пусть
где Доказательство. Имеем
Пример 12. Так как Рис. 159
Пример 13. Пусть (рис. 160)
Рис. 160 По теореме 2 и теореме 8 имеем
Пример 14. Найти изображение функции и продолженной затем на весь луч Рис. 161 Имеем
Выражение называется сверткой функций Легко проверить, что (надо сделать замену переменной Теорема 9. Преобразование Лапласа от свертки функций
Доказательство. Напомним, что мы считаем, что
Рис. 162 Отметим, что двойной интеграл по бесконечному сектору Пример 15.
Следствие 3. Пусть
Доказательство. Имеем по теореме 9
Отсюда, по теореме 5 о дифференцировании оригинала, получаем
Теорема 10. Если
В самом деле,
По формуле (16) легко найти изображение Фурье, если известно преобразование Лапласа функции Пример 16. Пусть Найти преобразование Фурье этой функции. Преобразование Лапласа функции
Приведем без доказательства ряд теорем о нахождении оригинала по известному изображению. Теорема 11. Пусть
Тогда оригинал этого изображения дается формулой
В самом деле,
В силу теоремы 1 § 7.1 (единственности) теорема доказана. Теорема 12. Пусть
Если
Теорема 13 (формула Меллина). Если
Пример 17. Найти оригинал функции
Будем пользоваться теоремой 12. Здесь
Пример 18. Найти оригинал Имеем
т. е.
Для удобства пользования сведем все полученные изображения элементарных функций в единую таблицу.
|