§ 7.3. Приложения операционного исчисления7.3.1. Операторное уравнение.Пусть дано линейное дифференциальное уравнение
Требуется найти решение уравнения (1) для
Пусть
В силу следствия 1 § 7.2
Поэтому, используя свойство линейности изображения, получаем
Для краткости записи обозначим
Уравнение (3) будем называть вспомогательным уравнением или изображающим уравнением, или операторным уравнением. Отметим, что коэффициент при
Легко видеть, что этот коэффициент является левой частью характеристического уравнения для дифференциального уравнения (1) (см. (2) § 1.16). Тогда изображение решения находим в виде
где
Если начальные условия нулевые, т. е.
Если теперь по изображению (4) или (4') мы найдем оригинал, то в силу теоремы единственности это и будет искомое решение Пример 1. Решить уравнение
По формуле (4') имеем
так как
Отсюда
Мы получили решение Можно также воспользоваться теоремой 12 § 7.2
Пример 2. Составим вспомогательное уравнение:
Отсюда
Многочлен
При решении дифференциального уравнения иногда удобно использование формулы Дюамеля (см. (15) § 7.2). Будем рассматривать уравнение (1) при нулевых начальных условиях:
Допустим, известно решение уравнения (1) при правой части, равной единице, и нулевых начальных условиях. Операторное уравнение для данной задачи имеет вид
где
Согласно формуле Дюамеля или учитывая, что
Отсюда решение уравнения (1) при нулевых начальных условиях будет иметь вид
где Пример 3. Решить уравнение
Решим вначале задачу Коши для уравнения
Составим операторное уравнение:
Отсюда
Замечание. Так как правая часть уравнения По формуле (7)
|