Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


6.3. Совмещение двух кадров гауссовского случайного поля

Пусть поле  гауссовское, стационарное, имеет нулевое среднее и КФ

  ,                      (6.10)

где  – коэффициент корреляции поля  на расстоянии  по времени и на расстоянии  по -й пространственной оси. В модели наблюдений (6.7) шумы  также будем предполагать гауссовскими с нулевым средним и постоянной дисперсией .

Пусть имеются наблюдения  кадра  в узлах прямоугольной сетки  с единичным шагом и наблюдения  кадра  в узлах некоторой сетки . Требуется оценить параметры  МКГТ кадров  и , т. е. найти оценку  параметров преобразования  системы координат  в .

Если для удобства взять =1 и выбрать оси сетки , совпадающими с осями координат, в которых задана КФ (6.10), то гауссовская совместная ПРВ кадра  и его наблюдений может быть  легко найдена из (6.7) и (6.10). При заданном векторе параметров  положение сетки  относительно  становится определенным, поэтому возможно и нахождение совместной условной ПРВ наблюдений  при заданном :

  ,                      (6.11)

где  – ковариационная матрица наблюдений ;  – количество элементов в .

  Таким образом, оценка  по МП максимизирует (6.11) при заданных значениях наблюдений . Отметим, что нахождение максимума выражения (6.11) представляет собой трудоемкую вычислительную задачу и практически нереализуемо в системах реального времени.

В целях упрощения рассмотрим сначала оценку, получающуюся максимизацией только экспоненты в (6.11):

  .                      (6.12)

Функционал  является расстоянием Махаланобиса выборки  от начала координат при ковариационной матрице . Таким образом, оценка (6.12) минимизирует расстояние Махаланобиса наблюдаемых  от начала координат.

  Рассмотрим это расстояние поподробнее. Из (5.15) следует, что имеет место представление

  ,                 (6.13)

где  – оптимальный (в данном случае линейный) прогноз наблюдений  в точку;   –  ошибки этого прогноза, т. е. остатки компенсации в точку;  – диагональная матрица из дисперсий ошибок . Если наблюдения  и  использовать дважды ( и ), то из (5.15) можно получить представление

              (6.14)

где  – прогноз наблюдений  по , т. е. прогноз в область;  – ошибки этого прогноза;  – ковариации ошибок ;  – прогноз  по ;  – ковариации ошибок  этого прогноза.

Оценку ММП можно несколько видоизменить, представив условную ПРВ в виде произведения

.                       (6.15)

Поскольку  от  не зависит, достаточно максимизировать условную ПРВ                  

,   (6.16)

где  и  те же, что и в (6.14). Отсюда можно также получить упрощенную оценку, минимизируя функционал

  ,                   (6.17)

являющийся расстоянием Махаланобиса между наблюдениями  и их прогнозами по наблюдениям .

Экспериментальные исследования показывают плохое качество оценок по расстоянию Махаланобиса. Это объясняется тем, что в (6.13), (6.14) и (6.17) перемножаются остатки компенсации и матрицы, обратные к  или к . При этом остатки компенсации могут уменьшаться по  только до некоторого предела, поэтому минимизация указанных выражений может осуществляться, в основном, за счет увеличения элементов матрицы  или . Этого не происходит при использовании оценки ММП, так как ПРВ (6.11) обратно пропорциональна корню из детерминанта ковариационной матрицы .

Гораздо лучшие оценки МКГТ можно получить, минимизируя остатки компенсации ,  или . Удобнее всего минимизировать , так как при этом определяется оптимальная компенсация очередного кадра  по предыдущему кадру , что часто бывает основной задачей совмещения. Применяя этот подход, можно получить оценки

  ,                         (6.18)

  ,                     (6.19)

а также ряд других оценок, зависящих от используемой метрики. Дальнейшее разнообразие оценок достигается применением различных прогнозов : можно использовать оптимальный прогноз, а также различные интерполяции наблюдений , изначально заданных только на сетке .

Отметим, что компенсационные оценки (6.18) и (6.19) оценивают, вообще говоря, не сами параметры  МКГТ, а только оптимизируют выбранную компенсацию в смысле некоторой метрики. Поэтому и совмещение кадров  и  при оцененных таким образом параметрах  является псевдосовмещением в смысле наилучшей компенсации выбранного типа. Однако при хорошем выборе функции прогноза часто обеспечивается и достаточно эффективное совмещение.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>