6.3. Совмещение двух кадров гауссовского случайного поля

Пусть поле гауссовское, стационарное, имеет нулевое среднее и КФ

, (6.10)

где – коэффициент корреляции поля на расстоянии по времени и на расстоянии по -й пространственной оси. В модели наблюдений (6.7) шумы также будем предполагать гауссовскими с нулевым средним и постоянной дисперсией .

Пусть имеются наблюдения кадра в узлах прямоугольной сетки с единичным шагом и наблюдения кадра в узлах некоторой сетки . Требуется оценить параметры МКГТ кадров и , т. е. найти оценку параметров преобразования системы координат в .

Если для удобства взять =1 и выбрать оси сетки , совпадающими с осями координат, в которых задана КФ (6.10), то гауссовская совместная ПРВ кадра и его наблюдений может быть легко найдена из (6.7) и (6.10). При заданном векторе параметров положение сетки относительно становится определенным, поэтому возможно и нахождение совместной условной ПРВ наблюдений при заданном :

, (6.11)

где – ковариационная матрица наблюдений ; – количество элементов в .

Таким образом, оценка по МП максимизирует (6.11) при заданных значениях наблюдений . Отметим, что нахождение максимума выражения (6.11) представляет собой трудоемкую вычислительную задачу и практически нереализуемо в системах реального времени.

В целях упрощения рассмотрим сначала оценку, получающуюся максимизацией только экспоненты в (6.11):

. (6.12)

Функционал является расстоянием Махаланобиса выборки от начала координат при ковариационной матрице . Таким образом, оценка (6.12) минимизирует расстояние Махаланобиса наблюдаемых от начала координат.

Рассмотрим это расстояние поподробнее. Из (5.15) следует, что имеет место представление

, (6.13)

где – оптимальный (в данном случае линейный) прогноз наблюдений в точку; – ошибки этого прогноза, т. е. остатки компенсации в точку; – диагональная матрица из дисперсий ошибок . Если наблюдения и использовать дважды ( и ), то из (5.15) можно получить представление

(6.14)

где – прогноз наблюдений по , т. е. прогноз в область; – ошибки этого прогноза; – ковариации ошибок ; – прогноз по ; – ковариации ошибок этого прогноза.

Оценку ММП можно несколько видоизменить, представив условную ПРВ в виде произведения

. (6.15)

Поскольку от не зависит, достаточно максимизировать условную ПРВ

, (6.16)

где и те же, что и в (6.14). Отсюда можно также получить упрощенную оценку, минимизируя функционал

, (6.17)

являющийся расстоянием Махаланобиса между наблюдениями и их прогнозами по наблюдениям .

Экспериментальные исследования показывают плохое качество оценок по расстоянию Махаланобиса. Это объясняется тем, что в (6.13), (6.14) и (6.17) перемножаются остатки компенсации и матрицы, обратные к или к . При этом остатки компенсации могут уменьшаться по только до некоторого предела, поэтому минимизация указанных выражений может осуществляться, в основном, за счет увеличения элементов матрицы или . Этого не происходит при использовании оценки ММП, так как ПРВ (6.11) обратно пропорциональна корню из детерминанта ковариационной матрицы .

Гораздо лучшие оценки МКГТ можно получить, минимизируя остатки компенсации , или . Удобнее всего минимизировать , так как при этом определяется оптимальная компенсация очередного кадра по предыдущему кадру , что часто бывает основной задачей совмещения. Применяя этот подход, можно получить оценки

, (6.18)

, (6.19)

а также ряд других оценок, зависящих от используемой метрики. Дальнейшее разнообразие оценок достигается применением различных прогнозов : можно использовать оптимальный прогноз, а также различные интерполяции наблюдений , изначально заданных только на сетке .

Отметим, что компенсационные оценки (6.18) и (6.19) оценивают, вообще говоря, не сами параметры МКГТ, а только оптимизируют выбранную компенсацию в смысле некоторой метрики. Поэтому и совмещение кадров и при оцененных таким образом параметрах является псевдосовмещением в смысле наилучшей компенсации выбранного типа. Однако при хорошем выборе функции прогноза часто обеспечивается и достаточно эффективное совмещение.