5.2. Проекция вектора.

Проекцией точки  на прямую  (рис. 6) называется точка , в которой  пересекаются прямая  с плоскостью, перпендикулярной к , проходящей через точку .

 

Рис. 6                                                                  Рис. 7

Зададим направленную прямую  (рис. 7) и вектор . Проекцией, вектора  на направленную прямую  называется вектор , где  - соответственно проекции точек ,  на  (см. рис. 7).

Проекцию вектора  на направленную прямую  будем обозначать символом .

При данной направленной прямой  проекции  любых векторов  на  лежат в  и направлены, как , либо - в противоположную сторону.

Впрочем, если вектор  нулевой или перпендикулярен к , то его проекция на  есть, очевидно, нулевой вектор, не имеющий направления.

Наряду с проекцией вектора  на направленную прямую , которая представляет собой вектор, введем еще новое понятие — числовую проекцию вектора  на направленную прямую . Это есть число, обозначаемое нами символом  (без стрелки) и определяемое следующим образом.

Числовой проекцией вектора  на направленную прямую  называется произведение длины вектора  на косинус угла  между вектором  и направлением :

.

Отметим следующие случаи: если  или если , то ; если  и , то числовая проекция положительна () и равна, очевидно, длине вектора : ; при этом сам вектор  направлен так же, как ; если же  и , то числовая проекция отрицательна () и равна, очевидно, длине вектора , взятой со знаком минус:

,

при этом сам вектор  направлен в сторону, противоположную .

Справедливо очевидное равенство, выражающее связь между проекцией вектора  на направление  и его числовой проекцией на :

.

Здесь  - единичный вектор, направленный, как .

Если векторы  и  лежат на направленной прямой , то их можно записать в виде

, ,

где  - единичный вектор, направленный так же, как , а  и  - числа. Эти числа могут быть положительными, отрицательными или нулем.

Справедливы очевидные равенства

,                                          (1)

показывающие, что сложение и вычитание указанных векторов сводится к сложению или вычитанию соответствующих чисел , .