5.4 Скалярное произведение векторов.

Назовем скалярным произведением двух векторов  и  число , равное произведению длин этих векторов, помноженному на косинус угла  между ними:

.                                        (4)

Очевидно, можно еще сказать, что скалярное произведение векторов  и  есть произведение длины вектора  на числовую проекцию вектора  на направление  или произведение длины  на числовую проекцию  на направление :

.

Скалярное произведение обладает свойствами:

,                                                                      (5)

,                                                    (6)

.                                                                (7)

Равенство (5) непосредственно вытекает из определения скалярного произведения.

Равенство (6) доказывается так:

.

Равенство (7) доказывается следующим образом:

.

Из (6) и (7), учитывая, (5), следует

,                                                     (6')

.                                                          (7')

Пример (из физики). Если тело под действием силы  передвинулось прямолинейно вдоль вектора , то работа , выполненная силой , как известно из физики, равна произведению величины силы  на путь  и еще на косинус угла между векторами  и :

.

Но тогда

,

т. е. указанная работа равна скалярному произведению векторов  и .