5.5. Прямоугольная система координат.

Теперь мы переходим к аналитическому описанию векторов и точек пространства - при помощи чисел. Введем в пространстве прямоугольную систему координат , т. е. три взаимно перпендикулярные направленные прямые, проходящие через некоторую точку , называемые осями координат  (рис. 9). Предполагается, что для данной системы координат выбран единичный отрезок, при помощи которого измеряются все прочие отрезки. Точка  называется началом координат.

Рис. 9

Зададим произвольную точку  трехмерного пространства. Направленный отрезок  называется радиус-вектором точки . Радиус-вектор в свою очередь определяет вектор  (), который можно переносить в пространстве параллельно самому себе. Числовые проекции радиус-вектора  на оси  обозначим соответственно . Это координаты точки ; при этом координата  называется абсциссой, координата  ординатой и координата  - аппликатой точки .

Между точками  пространства и их радиус-векторами  или, что все равно, тройками чисел , являющимися координатами точки  или проекциями  на оси, имеется взаимно однозначное соответствие. В силу сказанного не будет путаницы, если мы будем называть тройку чисел  точкой , имеющей эти числа своими координатами или радиус-вектором , имеющими эти числа своими проекциями.

Мы будем писать  и говорить, что  или  есть вектор, равный радиус-вектору  точки , имеющему координаты . Но, конечно, можно считать, что вектор  равен какому-либо другому направленному отрезку , равному  , т.е. имеющему то же направление и ту же длину, что и . В этом случае проекции  на оси координат часто обозначают символами  и пишут .

Из определения вектора как направленного отрезка, который можно передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, что два вектора  и  равны тогда и только тогда, если выполняются одновременно равенства: . Справедливы равенства

,                                       (8)

.                                                (9)

Равенство (8) следует из того, что проекция суммы или разности векторов (на ось  или  или ) равна сумме или разности проекций слагаемых.

Равенство же (9) следует из того, что проекция вектора  (на ось  или  или z) равна произведению  на проекцию .

Обозначим через  единичные (имеющие длину, равную 1) векторы, имеющие направление, что и оси . Векторы  называют ортами осей . Произвольный вектор () может быть записан в виде

.                                                     (10)

В самом деле,

,    ,        .

Поэтому в силу (8) и (9)

.

Отметим равенства, имеющие место для скалярных произведений ортов осей

,   .

Пусть теперь  и . Тогда

.                           (11)

В самом деле, на основании (6), (7), (6'), (7')

В частности, положив в этой формуле , получим, что

,

откуда длина вектора  равна

.

Отсюда расстояние между точками и  равно (рис.10)

.

Рис. 10

Для дальнейшего будет важно подвести итог сказанному. Для этого введем несколько иное наименование координат. Именно, введем в пространстве прямоугольную систему координат . В силу этого каждая точка пространства представлена тройкой чисел

.

Эту точку мы обозначили жирной буквой  и назвали также вектором  с компонентами .

Мы доказали, что сложение и вычитание векторов и умножение их на числа выражаются на языке троек следующим образом

                                             (12)

Скалярное произведение векторов и  выражается через координаты векторов  и  по формуле

                                            (13)

Длина вектора  есть неотрицательное число, равное

                                                                      (14)

Наконец, расстояние между точками и  равно

                    (15)

Реальное пространство, геометрию которого мы здесь изучали, называется трехмерным пространством, потому что его точки естественным образом представляются тройками действительных чисел. Мы будем его обозначать через .

Произвольную плоскость естественно обозначить через . В  можно задать прямоугольную систему координат , с помощью которой любую точку  или ее радиус-вектор можно представить парой чисел . Операции сложения и вычитания и умножения на число для векторов, принадлежащих к плокости, очевидно, подчиняются выведенным нами условиям (12), где в скобках надо только всюду выбросить третьи компоненты. Скалярное произведение векторов, принадлежащих к нашей плоскости, тоже выражается формулой (13), где в правой части надо выбросить третий член. То же самое относится и к формулам (14) и (15).

Обобщением пространств  и , является пространство , где  - произвольное натуральное число.

Пространство  при  > 3 является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях.

ЗАДАЧИ

1. Найти длину векторов (1,1,1), (1,-1,1), (1,2,3)

2. Найти угол между векторами (1,0,1), (1,2,3)

3. Дан единичный куб (с длиной ребра, равной 1). Найти угол между выходящими из его вершины: а) главной диагональю и диагональю грани; б) меду двумя диагоналями двух граней.