§6. n-мерное евклидово пространство. Скалярное произведение

6.1. n-мерное пространство.

Множество всевозможных систем  действительных (комплексных) чисел называется n-мерным действительным (комплексным) пространством и обозначается через . Каждую систему мы будем обозначать одной (жирной) буквой без индекса:

и называть точкой или вектором  (пространства ). Числа  называют координатами точки (вектора)  или еще компонентами вектора .

Две точки

  

считаются равными, если их соответствующие координаты равны

.

В других случаях  и  различны .

Системы (векторы) ,  можно складывать, вычитать и умножать на числа  - действительные, если  есть действительное пространство, и комплексные, ели  - комплексное пространство.

По определению суммой векторов  и  называется вектор

,                                                 (1)

а разностью - вектор

.                                                       (2)

Произведением же числа  на вектор  или вектора  на число  называется вектор

.

Наконец, вектор  определяется равенством

.

Вводится еще понятие нулевого вектора, компоненты которого равны нулю:.

Очевидно, выполняются свойства:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

где  - числа, а , .

Пространство  называется линейным пространством, потому что для него выполняются перечисленные выше свойства 1) – 8), см. ниже замечание 1.

Число (неотрицательное)

                                                              (3)

называется длиной или нормой вектора  в пространстве .

Расстояние между точками  и  действительного пространства  определяется по формуле

.                                           (4)