Эллиптический параболоид

     .                                             (10)

Так как в (10) присутствуют квадраты переменных  и , то данная поверхность симметрична относительно координатных плоскостей , . Далее, так как мы считаем , то поверхность (10) расположена в полупространстве .

Пересекая поверхность (10) плоскостями , в сечении будем получать эллипсы.

с полуосями

,     .

При изменении  от нуля до  данные эллипсы описывают нашу поверхность (10).

Пересекая поверхность (10) плоскостями (или ), мы получим в сечении параболы

со смещенной вершиной в точке  .

При  поверхность (10) будет поверхностью вращения, получающейся от вращения параболы  около оси . В этом случае поверхность (10) называют параболоидом вращения.

Точка  лежит на поверхности (10) и называется вершиной эллиптического параболоида. Эллиптический параболоид изображен на рис. 46.

Рис. 46

Гиперболический параболоид

     .                                         (11)

По виду уравнения (11) заключаем, что данная поверхность симметрична относительно плоскостей , . Пересекая поверхность (11) плоскостями , мы будем получать в сечении гиперболы

,

причем при  действительная ось симметрии гиперболы будет параллельной оси , а при  - оси . При  в сечении будут две пересекающиеся прямые.

При сечении поверхности (11) плоскостями  или  получим параболы, направленные ветвями вниз или вверх:

,     .

Поверхность (11) изображена на рис.47.

Рис.47