Цилиндры второго порядка

а) Эллиптический цилиндр

     .                                       (14)

Уравнение (14) не содержит переменной . На плоскости  уравнение (14) определяет эллипс с полуосями  и . Если точка  лежит на этом эллипсе, то при любом  точка  лежит на поверхности (14). Совокупность таких точек есть поверхность, описанная прямой, параллельной оси  и пересекающей эллипс

в плоскости .

Эллипс (14) называют направляющей линией данной поверхности, а все возможные положения указанной движущейся прямой – образующими.

Вообще поверхность, описываемая прямой, остающейся параллельной некоторому заданному направлению и пересекающей данную линию , называется цилиндрической. Поверхность (14) изображена на рис.49.

Рис.49

б) Гиперболический и параболический цилиндры

     ,                                                    (15)

     .                                                             (16)

В данном случае направляющими линиями поверхностей являются гипербола и парабола, а образующими - прямые параллельные оси  и проходящие через гиперболу или параболу в плоскости . Поверхности (15) и (16) изображены на рис. 50 и 51.

в) Параллельные и пересекающиеся плоскости. Прямая.

     ,                                                          (17)

     ,                                                          (18)

,                                                                                       (19)

.                                                                            (20)

Для поверхности (17) направляющими являются прямые линии

.

Поэтому поверхность (17) есть пара пересекающихся плоскостей. В уравнении поверхностей (18) и (19) отсутствуют по две координаты. Уравнение (18) в плоскости  есть пара прямых .

Рис. 50                                                                                                            Рис. 51

Если мы будем брать  и любые  и , то точки  будут удовлетворять уравнению (18), поэтому поверхность (18) есть пара параллельных плоскостей.

Уравнение (19) описывает плоскость , так как этому уравнению удовлетворяют любые точки вида , все множество которых и составляет плоскость .

Можно также рассматривать  как направляющую в какой-либо из плоскостей  или , а образующими являются прямые, параллельные оси  или оси  и проходящие через прямую .

Уравнению (20) удовлетворяет любая точка с  и любым . Поэтому (20) изображает прямую, а именно, ось .