Линейчатые поверхности

Некоторые поверхности второго порядка образованы движением прямой. Такими являются все цилиндрические поверхности и конус второго порядка. Однако имеются и другие поверхности, которые также образуются движением прямой.

Поверхность, образованная движением прямой, называется линейчатой, а целиком лежащие на ней прямые - прямолинейными образующими.

К линейчатым поверхностям относятся однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид.

Уравнение однополостного гиперболоида (8) можно записать в виде

или, разлагая левую и правую части на множители, получаем

.                         (21)

Составим систему уравнений первой степени:

                                         (22)

где  - произвольный параметр.

При определенном значении этого параметра  мы получим прямую линию, а при изменении  - семейство прямых. Если мы перемножим уравнения (22) почленно, то получим уравнение (21) нашей поверхности. Поэтому любая точка , удовлетворяющая системе (22), находится на поверхности (21). Следовательно, каждая из прямых семейства (22) целиком лежит на поверхности однополостного гиперболоида.

Совершенно аналогично система

                                                                (23)

где  - параметр, также определяет семейство прямых, отличное от семейства (22), принадлежащее поверхности (21).

Через каждую точку гиперболоида (21) проходит по одной прямой каждого семейства, вообще при различных значениях параметров  и  (рис. 52). Например, через точку  поверхности (21) проходит прямая (22) при  и прямая (23) при .

Рис. 52

Отметим, что однополостные гиперболоиды нашли применение в практике строительства. Сооружение различных высотных башен с использованием прямолинейных образующих однополостного гиперболоида сочетает в себе прочность конструкции с простотой ее исполнения. Идея использования однополостного гиперболоида в строительстве принадлежит нашему соотечественнику инженеру В.Г.Шухову (1853-1939). По проекту Шухова построена телевизионная башня на Шаболовке в г. Москве, она состоит из секций однополостных гиперболоидов вращения.

Легко убедиться, что два семейства прямых

                                                             (24)

                                                               (25)

образуют поверхность гиперболического параболоида (11).

Прямые, соответствующие семействам (24) и (25), лежат на этой поверхности и, обратно, любая точка этой поверхности есть пересечение некоторой прямой семейства (24) с некоторой прямой семейства (25).