§ 26. Общая теория поверхности второго порядка в трехмерном пространстве

,                                     (1)

где , , - постоянные числа – коэффициенты уравнения.

В § 25 было перечислено восемь видов 1)-8) (частных случаев) уравнения (1) и была отмечена возможность доказательства того, что для каждого данного уравнения (1), если оно не определяет мнимую поверхность, можно найти прямоугольную систему координат, в которой это уравнение имеет один из указанных видов.

Ниже дается доказательство этого утверждения.

Мы начинаем с того, что рассматриваем квадратичную форму, фигурирующую в левой части уравнения (1).

На основании теоремы 2 § 22 эту форму можно привести при помощи соответствующего ортогонального преобразования

                                                (2)

к следующему виду:

,

где  - определенные действительные числа.

Подчеркнем, что равенства (2) определяют преобразование исходной прямоугольной системы координат ,, к некоторой другой прямоугольной системе ,,. Точка, имеющая координаты  в исходной системе, в новой системе имеет координаты , получаемые посредством обращения операции (2).

В новой прямоугольной системе наша поверхность имеет, очевидно, уравнение

,                            (3)

где , - некоторые постоянные числа.

Рассмотрим сначала случай, когда все три числа  отличны от нуля .

В этом случае перенесем систему координат так, чтобы ее начальная точка перешла в точку ; тогда получим вторую прямоугольную систему координат , где

.

В ней уравнение нашей поверхности имеет вид

или

,

где  - некоторая константа. Если положить

,

то это уравнение упростится:

.                                                   (4)

Предположим, что числа  одинакового знака.

Если при этом , то уравнению (4) удовлетворяет единственная точка, именно нулевая точка  (см. 7) §25).

Если  и имеет знак чисел  то, очевидно, нет точек с действительными координатами, удовлетворяющих уравнению (4). В этом случае поверхность (1) мнимая.

Если же  и имеет знак, противоположный знаку чисел  то уравнение (4) можно записать в виде

                                                      (5)

или  полагая

в виде

.

Таким образом, поверхность (1) есть эллипсоид (см. 1) § 25).

Пусть теперь два из чисел  имеют один знак, а третье — противоположный им знак.

Если при этом , то можно считать в уравнении (4), что , умножая (4), если это нужно, на  и переставляя, если это нужно, местами . Тогда, положив

,

получим уравнение конуса (см. 6) § 25)

.

При  воспользуемся снова формулой (5). Выделим два существенно различных случая:

 (однополостный гиперболоид 2) § 25),

 (двуполостный гиперболоид 3) § 25).

К этим двум случаям сводятся и остальные случаи путем соответствующей замены координат .

Пусть теперь . Тогда по крайней мере одно из чисел  равно нулю. Будем считать, что , поменяв, если нужно, местами .

Итак, пусть . Выделим сначала случай, когда . Тогда уравнение (3) имеет вид

,

где числа  могут быть любыми.

В плоскости  это есть общее уравнение кривой второго порядка. В пространстве  ему соответствует уравнение цилиндрической поверхности (см. 8) § 25), проходящей через плоскую кривую второго порядка с образующей, параллельной оси  (см. 8) § 25).

Далее мы будем всегда считать, что  и , и тогда уравнение (3) имеет вид

.                       (3')

Существенно различными случаями являются следующие: а) ; б) ;

в) . Другие случаи сводятся к ним заменой координат или умножением на .

Рассматриваем случай а) . Вынесем за скобки множители  и  и дополним выражения в этих скобках до полных квадратов. Тогда получим, учитывая, что  отличны от нуля,

,

где  - соответствующие числа. Полагая

,

получим

или

.                                                                              (6)

Если , то уравнение (6) имеет вид

 (эллиптический параболоид 4) § 25)   (7)

.

Если же , то заменяя , на , мы снова получим уравнение вида (7), т. е. эллиптический параболоид.

Рассмотрим теперь случай б) . Воспользуемся уравнением (6). Если , то это уравнение записывается в виде

 (гиперболический параболоид см. 5) § 25)                      (8)

.

Если же , то после замены местами  и  снова получим уравнение вида (8), т. е. гиперболический параболоид.

Переходим теперь к случаю в) . Тогда уравнение (3') сводится к следующему:

.

Вынося за первые скобки , дополняя выражение в этих скобках до полного квадрата (учитывая,  что ), получим

,

 где  - некоторые числа. После замены

это уравнение превратится в следующее:

.                                                             (9)

Рассмотрим в плоскости  вектор . Запишем его в виде

,

где  - длина , а  - единичный вектор, направленный в сторону . Другой вектор  тоже единичный и перпендикулярен к первому.

Введем в плоскости  ортогональное преобразование

.

Этим прямоугольная система координат  заменяется на прямоугольную систему координат , а прямоугольная система координат  заменяется на прямоугольную систему координат . В результате уравнение (9), которое может быть записано так:

,

принимает следующий вид:

,

или меняя  на ,

,

или наконец меняя местами  и ,

,

т. е. мы получили уравнение параболического цилиндра (в прямоугольных координатах ).

Мы рассмотрели все случаи, могущие иметь место для уравнения (1), и в каждом из них нашли прямоугольную систему координат, в которой уравнение (1) имеет один из видов 1)-8) § 25. Утверждение доказано.