27.9. Прямая в пространстве Rn.

Уравнения прямой в пространстве  можно вывести по аналогии с трехмерным пространством  (см. § 10).

Прямой  в , проходящей через точку  и направленной в сторону вектора , называется геометрическое место точек , удовлетворяющих уравнениям

                                                   (19)

где  - переменная, пробегающая интервал . Удобно считать, что вектор  приложен к точке .

Уравнения (19) называются параметрическими уравнениями прямой .

Если ввести в рассмотрение радиус-векторы точек  и  прямой :

,   ,

то уравнение (19) запишутся:

,                                    (19')

 

т.е. вектор  коллинеарен вектору .

Если действительная переменная (скаляр)  пробегает интервал , то конец радиус-вектора

пробегает всю прямую .

Уравнение (19’) называется уравнением прямой в векторной форме.

Исходя из (19'), мы видим, что вектор  лежит на прямой , потому что его начало  имеет радиус-вектор , а конец - . Оба эти вектора удовлетворяют уравнению (19') соответственно при  и  (см. § 7).

Если исключить параметр  из уравнений (19), то мы получим систему из  уравнений:

.                                     (19'')

Уравнение (19'') называются уравнениями прямой  в канонической форме или каноническом виде.

Пусть заданы прямые

. ,

..

Угол между прямыми  и  называется угол  между векторами

,

которые, как мы показали, лежат на соответствующих прямых  и , Они приложены соответственно к точкам .

Пример 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку  и перпендикулярно прямой, определяемой уравнениями

.                                               (20)

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку , имеет вид (см.(18))

.                                                        (21)

Искомая плоскость должна быть ортогональной прямой (20), т. е. ортогональной вектору .

С другой стороны, вектор  ортогонален плоскости (21). Поэтому векторы  и  коллинеарны; . Следовательно, уравнение искомой плоскости запишется:

.