27.10. Расположение n-1 плоскостей.

Пусть заданы уравнения  плоскостей

                                                           ()

                                            ()

Если коэффициенты первого уравнения пропорциональны коэффициентам второго , то плоскости параллельны (см. 27.7).

Если указанная пропорциональность имеет место и для коэффициентов других уравнений, то все плоскости буду параллельны между собой. В этом случае все определители-го порядка, порожденные матрицей  коэффициентов  уравнений () – (), равны нулю.

Если хотя бы один из определителей -го порядка матрицы  не равен нулю, то плоскости () – () пересекаются по прямой. В самом деле, пусть для определенности

.                                                   (23)

Тогда уравнение () – () можно решить относительно  и мы получаем

                                                       (24)

где  - некоторые числа.

Уравнения (24) эквивалентны следующим уравнениям:

.                                                  (25)

Мы видим, что при условии (23) уравнения  плоскостей () – () определяют прямую (25). Она проходит через точку  и имеет направление вектора .

Пример 2. Найти угол между прямыми

,

,

Решение. Векторы ,  лежат на наших прямых, расположенных в четырехмерном пространстве . Поэтому угол  между этими векторами и будет углом между прямыми:

,

.