27.11. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть задана плоскость , определяемая общим уравнением

,                                                              (26)

или векторным уравнением

,                                                                                               (27)

или же нормальным уравнением

,                                                                    (28)

где ,  - радиус-вектор текущей точки  плоскости , , .

Зададим некоторую точку . Радиус-вектор точки  обозначим через .

Расстоянием от точки  до плоскости  называется длиной  отрезка, опущенного из нее на .

Покажем, что

,                                                                               (29)

т.е. расстояние  до  равно абсолютной величине проекции вектора  на направление единичного вектора  (ортогонального к ).

На рисунках 53 а и 53 б изображена плоскость  и точка . На рис. 53 а точки  и  находятся по разные стороны от  ( пересекает ). А на рис. 53 б – по одну сторону от  ( не пересекает ).

Рис. 53

Через точку ( проведена плоскость , параллельная . Из точки  проведена прямая, перпендикулярная к  (и ), пересекающая  и , соответственно в точках  и . На ней отмечен единичный вектор , идущий от точки  по направлению к .

Обратимся к рис. 53 а. Векторы  образуют острый угол. Проекция  на направление  есть положительное число, равное длине отрезка , которая в свою очередь равна расстоянию от  до :

.

На рис. 53 б  образует острый угол с  и на этот раз расстояние от  до  равно

.

Оба полученные равенства объединяются равенством (29) или, что все равно, равенством:

.

Таким образом, для того чтобы вычислить расстояние  от точки  до плоскости , надо записать уравнение плоскости  в нормальном виде (28), перенести  в левую часть и подставить в последнюю  вместо . Абсолютная величина полученного выражения и есть искомое число .

На языке параметров плоскости, очевидно

.

Пример 3. Найти расстояние  от точки

пространства  до плоскости

.

Решение. Согласно сказанному выше

.