2.3. Погрешности оценивания квазиоптимальных алгоритмов

Найдем дисперсию и математическое ожидание погрешности оценивания линейного сдвига случайного процесса относительно при использовании алгоритмов (2.6) и (2.15), нашедших широкое применение в качестве базовых процедур при решении различных практических задач [19,52,54,90,103,104].

Будем считать, что модель наблюдений и аддитивная , где и - гауссовские случайные поля с нулевым математическим ожиданием, дисперсией и известной КФ заданной непрерывно на и - некоррелированные мешающие гауссовские поля с нулевым средним и дисперсией .

В качестве промежуточных величин определим математическое ожидание и дисперсию числителя и знаменателя (2.6). При этом для сокращения записи будем использовать обозначения

Легко показать, что математическое ожидание числителя

а математическое ожидание знаменателя

где - значение нормированной КФ при аргументе сдвиг относительно - отношение дисперсии сигнала к дисперсии шума для изображений и .

Дисперсия числителя (2.6) определяется выражением

где - элемент ковариационной матрицы . После несложных, но весьма громоздких преобразований получаем

Аналогично можно определить и дисперсию знаменателя

При выражение для и упрощаются

Заметим, что при и коэффициент вариации знаменателя (2.6)

Рис. 2.2. Коэффициент вариации числителя (2.6).

стремится к нулю. На рис. 2.2 для примера приведены зависимости от для авторегрессионной (АР) и гауссовской КФ при и . Из графиков видно, что для практически значимого диапазона значений и величина . Указанное обстоятельство дает основание использовать при нахождении математического ожидания и дисперсии оценки алгоритма (2.6) упрощенные соотношения

где и определяются выражениями (2.28), (2.29) и (2.32).

Анализ соотношений (2.30) и (2.35) показывает, что оценки сдвига смещенные, причем смещенность оценок не зависит от объема выборки но существенно зависит от отношения дисперсии шума к дисперсии сигнала . При оценка . Для примера на рис. 2.3 приведены графики зависимости систематической погрешности оценивания от алгоритма (2.6) для АР и гауссовской КФ при (сплошные линии) и (пунктирные линии). Смещенность отсутствует при . При отсутствии шумов достигает максимального значения при . Так, для приведенных на рис. 2.3 зависимостей для АР КФ и - для гауссовской . При увеличении величина увеличивается, в том числе и при .

Дисперсия оценок зависит от сдвига и величины Минимальная дисперсия оценок достигается при . При наличии шумов степень их влияния на зависит также от сдвига. В целом, при увеличении относительная зависимость от уменьшается. На рис. 2.4 в качестве примера приведены графики зависимостей от при 0.05 и 0.15 для гауссовской КФ.

Рис. 2.3. Зависимость смещенности от величины сдвига для алгоритма (2.6).

При выводе выражений (2.35) и (2.36) предполагалось, что при накоплении сумм числителя и знаменателя (2.6) отсчеты берутся подряд без пропусков. Однако, как показывает анализ, коррелированность и приводит к увеличению дисперсии оценок сдвига . Для уменьшения при том же числе слагаемых в (2.6) отсчеты могут браться с некоторым детерминированным или случайным прореживанием. Тогда номер отсчета будет зависеть от номера очередного слагаемого и

Рис. 2.4. Зависимость дисперсии оценки от величины сдвига.

Рис. 2.5. Выигрыш по дисперсии при некоррелированности отсчетов и .

При выводе выражений (2.35) и (2.36) предполагалось, что при накоплении сумм числителя и знаменателя (2.6) отсчеты берутся подряд без пропусков Однако, как показывает анализ, коррелированность и приводит к увеличению дисперсии оценок сдвига . Для уменьшения при том же числе слагаемых в (2.6) отсчеты могут браться с некоторым детерминированным

ванным или случайным прореживанием. Тогда номер отсчета будет зависеть от номера очередного слагаемого и

В качестве примера на рис. 2.5 приведены графики функции выигрыша

по дисперсии в зависимости от при гауссовской и и . Анализ показывает, что выигрыш зависит от и с увеличением уменьшается в среднем с до .

По аналогии с рассмотренными выше преобразованиями найдем и алгоритма (2.15). Как и в предыдущем случае, для сокращения записи будем использовать обозначения

Математическое ожидание числителя и знаменателя (2.15) определяется соотношениями

где - нормированная КФ. Тогда

Анализ показывает, что как и для алгоритма (2.6), дискриминационная характеристика (2.15) нелинейна и зависит от КФ изображений и . При этом в отличии от алгоритма (2.6) для (2.15) при . При и

наличии шумов это приводит к занижению при - к завышению. Для иллюстрации этих закономерностей на рис. 2.6 приведены графики систематической погрешности оценивания при и 0.1 и гауссовской . На этом же рисунке для сравнения показаны зависимости от величины сдвига для алгоритма (2.6). Из выражений (2.35) и (2.41) следует, что при отсутствии шумов в диапазоне сдвигов алгоритм (2.15) обеспечивает примерно вчетверо меньшую смещенность оценок по сравнению с алгоритмом (2.6).

Найдем теперь дисперсию а оценок алгоритма (2.15). Для составляющих дисперсии а числителя (2.15), опуская громоздкие промежуточные преобразования запишем

В отличие от (2.6) "шумовые" составляющие (2.15) дают ненулевой вклад в элементы главной и первых побочных диагоналей ковариационной матрицы . Для элементов главной диагонали получаем

а для элементов первых побочных диагоналей -

где для и для . Тогда дисперсия "шумовой" составляющей

.

Дисперсию знаменателя (2.15) после соответствующих преобразований можно записать в виде

При выражение (2.44) можно упростить:

.

Таким образом, с учетом (2.41) окончательно получаем

Анализ соотношений (2.44), (2.46) и (2.36) показывает, что при значениях дисперсия (2.46) в несколько раз ниже дисперсии (2.36). Для примера на рис. 2.7 приведены графики зависимости от величины сдвига при и . Из графиков видно, что зависимость дисперсии от с

ростом уменьшается. Одновременно снижается и выигрыш по дисперсии оценок алгоритма (2.15) по сравнению с (2.6).

Выше приведен анализ точностных возможностей двух квазиоптимальных алгоритмов из восьми, рассмотренных в разделе 2.1. Очевидно, что и другие алгоритмы этой группы могут быть проанализированы аналогичным образом. Однако при анализе изображений размерности два и выше аналитические выражения становятся очень громоздкими, поэтому целесообразнее использование статистического моделирования.

Статистический анализ точности оценок сдвига двумерных изображений

Ниже приводятся некоторые результаты статистического анализа квазиоптимальных алгоритмов (2.15), который проводился как на имитированных, так и на реальных изображениях оптического и инфракрасного диапазонов. При имитации изображений опорная (исходная) реализация формировалась с использованием двумерного уравнения АР

Рис. 2.7. Зависимость дисперсии оценки от величины сдвига для алгоритмов (2.5) и (2.15).

где - независимая гауссовская случайная величина (СВ) с нулевым математическим ожиданием и дисперсией - коэффициент межэлементной корреляции; - нормированная гауссовская .

Для имитации изображений с достаточно широким классом КФ сдвинутые на реализации СП строились из опорной реализации как на основе АР уравнения (2.47), так и с помощью интерполяции полиномами первой, второй и третий степени. Кроме того, опорный и сдвинутый кадры формировались также усреднением отсчетов (скользящее среднее) более мелкой сетки АР СП. Полученные таким образом СП суммировались с белыми полями помех. При этом выбиралась исходя из требуемого отношения дисперсии сигнала к дисперсии шума. Графики сечений КФ таких СП при и приведены на рис. 2.8. На этом рисунке кривая 1 соответствует АР модели; кривые 2, 3 и 4 -интерполяции полиномами первой, третьей и второй степени соответственно; кривая 5 - "скользящему среднему". Там же приведены значения КФ реальных изображений оптического (кружочки) и инфракрасного (звездочки) диапазонов. Аппроксимация кривых экспоненциальной зависимостью вида дает диапазон изменения параметра от 1 до 3 (для АР - при "скользящем линейной и кубической интерполяции при квадратичной интерполяции - ).

Заметим, что из использованных способов формирования сдвинутого СП с точки зрения физических представлений более корректно применение "скользящего среднего", а также кубической и линейной интерполяций, имеющих близкие соответствующие параметру . Это же подтверждается и анализом КФ реальных изображений (рис. 2.8). При квадратичной интерполяции для прогнозируемой точки используется разный объем информации "справа" и "слева" (два отсчета и один). Это делает корреляционные свойства интерполируемого участка разными при использовании правой и левой ветвей параболы (так как для одной и той же точки получаются разные значения прогноза). Все это в приложении к решаемой задаче заставляет относиться к квадратичной интерполяции с осторожностью и рассматривать ее полезность с точки зрения

формирования КФ с параметром . Другим предельным случаем является АР модель. Она не всегда адекватно описывает дискретное по пространству изображение, отсчеты которого, как правило, зависят от интегральной яркости конечного участка исходного изображения, что приводит к экспоненциальным КФ с параметром . Поэтому при проведении эксперимента наибольшее внимание уделялось линейной и кубической интерполяциям и методу "скользящего среднего".

Для устранения влияния анизотропности КФ при исследовании зависимости характеристик оценки сдвига от вида сечения КФ сдвиг задавался равным нулю.

Некоторые характерные результаты эксперимента при у и размере области суммирования отсчетов приведены на рис. 2.9, рис. 2.10 и в табл. 2.1. При этом в таблицу сведены значения и а для алгоритмов и (2.15), полученные при 40 значениях равномерно

Рис. 2.8. Сечения КФ исследуемых изображений (Способ формирования: 1 - АР модель; 2, 3 и 4 - полиномы первой, третьей и второй степени соответственно; 5 - "скользящее среднее" и реальные изображения оптического и инфракрасного

распределенных в диапазоне и усредненных по кадрам. Рис. 2.9 отражает конкретные реализации оценок сдвига пяти лучших по точностным возможностям алгоритмов при кубической интерполяции и дает представление о характере зависимости погрешности оценивания от , а также о степени устойчивости к шумам оценок, полученных с помощью разных алгоритмов. На рис. 2.10 приведены реализации оценок сдвига для алгоритма (2.11) при различных способах формирования сдвинутого изображения.

Анализ результатов эксперимента позволяет сделать следующие выводы. При всех способах формирования сдвинутого изображения алгоритмы (2.6) и (2.7) имеют нелинейную дискриминационную характеристику определяемую соотношением (2.35). Минимум смещенности обеспечивается при построении СП с использованием АР модели (2.47). Связано это с

Статистические оценки алгоритмов оценивания сдвига Табл. 2.1

Рис. 2.9. Реализации оценок сдвига при кубической интерполяции.

Рис. 2.10. Реализации оценок сдвига (алгоритм (2.11)) при различных способах формирования сдвинутого кадра.

тем, что экспоненциальная КФ такого СП на начальном участке хорошо аппроксимируется прямой. Алгоритм (2.7) в условиях шумов отличается неустойчивостью оценок, вносящей свой вклад в Это объясняется тем, что формируемая

алгоритмом (2.7) оценка основана на разности близких по величине коэффициентов корреляции, поэтому требуются повышенные точность вычисления этих оценок и объем выборки. Таким образом, алгоритмы могут быть рекомендованы к использованию при наличии априорной информации о характере КФ . Алгоритм (2.7), кроме того, следует применять при большом числе элементов

Алгоритм (2.11), синтезированный для АР модели обеспечил, как и следовало ожидать, при этой модели лучшие результаты. Однако даже незначительное изменение КФ СП резко ухудшает его точностные возможности (см. табл. 2.1 и рис. 2.10). Из этого следует, что алгоритмами, оптимизированными для конкретного вида КФ при других моделях СП следует пользоваться только после предварительного анализа. Поэтому в условиях априорной неопределенности применение алгоритма (2.11) не может быть рекомендовано.

Из рассмотренных процедур наиболее устойчивыми к виду КФ СП являются алгоритмы (2.12) и (2.15), а также (2.6) и (2.8). В самом деле, усредненное СКО алгоритма (2.15) составляет для алгоритма (2.12) - а для алгоритмов (2.6) и (2.8) соответственно и . Для сравнения заметим, что следующий по качеству алгоритм (2.11) обеспечивает .

В целом алгоритмы оценки сдвига имеют существенно нелинейную дискриминационную характеристику, характер которой зависит от вида КФ изображений. Даже незначительное изменение КФ может значительно изменить вид дискриминационной характеристики. Кроме того, для большинства алгоритмов смещенность оценок зависит также от отношения сигнал шум. Все это делает проблематичной апостериорную коррекцию результатов измерения сдвига при априорной неопределенности относительно вида КФ изображений.

Таким образом, из исследуемых процедур оценки линейного сдвига изображений в диапазоне по критериям быстродействия, точности и устойчивости к шумам могут быть рекомендованы алгоритмы (2.12) и (2.15).