1.3. Некоторые частные случаи алгоритмов оценивания

Рассмотрим несколько частных случаев применения полученных общих выражений (1.11), (1.13), (1.14) и (1.15) для алгоритмов оценивания параметров ПД и ковариационной матрицы ошибок эффективных несмещенных оценок.

Детерминированные изображения

Предположим, что - отсчеты известной детерминированной функции , а параметр а является сдвигом этой функции по оси времени. При этом по наблюдениям необходимо найти оценку неизвестного сдвига. В этом случае и оценка МП (1.11) может быть найдена из условия минимума

или из уравнения правдоподобия (1.14)

Минимальная дисперсия ошибки оценивания (1.15) в рассматриваемом примере определяется соотношением

Смысл записанных процедур становится очевидным для линейной функции , для которой минимальная дисперсия погрешности оценки или где - интервал времени между соседними отсчетами; - отношение квадрата величины приращения процесса на интервале и дисперсии помехи.

Пусть - детерминированная функция двух дискретных переменных заданная в двумерной области . Для случая, когда а является неизвестным углом поворота кадра относительно некоторой точки , при этом необходимо дать оценку по наблюдениям . Наилучшая оценка находится из условия минимума (1.13):

а минимальная дисперсия погрешности этой оценки составит величину

Заметим, что если функция или задана только в области то

минимальная дисперсия увеличивается при ненулевых . Например, при на интервале и число ненулевых слагаемых в (1.18) будет равно , где - целая часть. Если же , то сдвиг оценить невозможно.

Для модели наблюдений структура рассмотренных алгоритмов сохранится, но минимальная дисперсия ошибки увеличится, так как в числителе формул (1.18) и (1.19) будет уже сумма дисперсий помех.

Если функция задана с точностью до неизвестных параметров, например в, где и - неизвестны, то одновременно с оценкой а нужно оценивать и параметры и по максимуму ,. Тогда знаменателем в (1.10) уже нельзя пренебречь. Когда вид функции неизвестен можно осуществлять интерполяцию основанную на каком-то представлении о поведении функции.

Случайные изображения

Предположим теперь, что - реализация. Заметим, что если во всех экспериментах наблюдается одна и та же реализация, то задача оценивания сводится к предыдущей. Если же в каждом эксперименте по оцениванию параметра а формируется новая (очередная) реализация то нас будет интересовать среднеквадратическая погрешность по множеству таких реализаций, а также особенности процедур (1.11), (113) и (1.14) оценивания неизвестного параметра. Именно такие задачи и рассматриваются ниже.

Оценивание сдвигов случайных последовательностей

Пусть - реализация случайной последовательности на интервале . Необходимо по совокупности наблюдений дать оценку параметра временного сдвига. В этом случае наилучший прогноз при линейной интерполяции значений представляет собой просто . Дисперсия ошибки такого прогноза зависит от вида случайного сигнала. Предположим, что описывается авторегрессионным уравнением вида [10]

где - коэффициент корреляции между соседними значениями и некоррелированные гауссовские величины с нулевыми средними и единичной дисперсией

Для определения ковариационной матрицы (1.9)

необходимо найти поведение случайной последовательности между целочисленными отсчетами. Это можно сделать на основе известных методов теории непрерывно-дискретной фильтрации [85]. Однако в рассматриваемой задаче элементы матрицы ошибок прогноза обычно намного меньше дисперсии шума. Поэтому будем полагать Тогда алгоритмы оценивания сдвига случайной последовательности совпадают с (1.16) и (1.17).

Для нахождения минимально достижимой дисперсии ошибки оценивания сдвига (1.15)

необходимо вычислить среднее значение квадрата производной . При линейной интерполяции

поэтому

где - нормированная КФ случайной последовательности . Таким образом,

В частности, для последовательности, описываемой уравнением (1.20), получаем

где отношение дисперсий информационной последовательности и помехи.

Оценивание сдвига двумерного изображения

Рассмотрим теперь оценивание сдвига двумерного СП по одной из координат или . Пусть СП задано разностным стохастическим уравнением

где коэффициенты корреляции между соседними значениями по строке и столбцу соответственно; - независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними и единичными дисперсиями;

Пусть, как и в предыдущем примере,

Нетрудно убедиться, что оценка МП определяется из условия (1.11)

Полагая, что - сдвиг по координате находим

Таким образом, минимальная дисперсия ошибки определяется формулой (1.23), но необходимо учесть, что общее число точек в области равно произведению .

При отсутствии помехи в наблюдениях аналогично могут быть найдены и другие параметры, например поворот кадра или совместные сдвиги и повороты, и др.