1.2. Синтез алгоритмов оценивания пространственных деформаций методом максимального правдоподобия

Будем считать, что СП е в моменты времени задано на некоторой непрерывной области и модель наблюдений поля имеет вид

где - - поле независимых. Кадры случайного поля являются системой отсчетов кадра на сетке При этом положение и форма сеток могут изменяться со временем, но индексные размеры остаются постоянными. В общем случае требуется оценить форму сетки и найти преобразование в.

Даже для стационарных полей оценка формы сетки то есть оценка взаимного расположения отсчетов является сложной задачей. Поэтому ограничимся случаем, когда прямоугольная сетка с единичным шагом. Это, как правило, соответствует реальным изображениям, полученным с помощью телекамер, сканирующих линеек и т. д. Кроме того, сетки и для соседних кадров обычно отличаются друг от друга незначительно и при оценке преобразования

в предположение о прямоугольности не приводит к большим погрешностям. Даже применяемые в радиолокации сетки с полярными координатами при малом дискрете локально близки к прямоугольным на некотором удалении от полюса. При стационарности может быть найдена условная совместная ПРВ где - преобразование координат в систему координат . Это позволяет применить различные статистические методы оценивания например, оценки МП:

При неизвестном наборе параметров преобразования должны быть оценены координаты всех отсчетов кадра в системе . Поэтому в (1.5) в общем случае содержит очень большое число параметров и оценка МП сложна для вычисления. Однако задача упрощается, если вид преобразования известен и нужно определить только его параметры а, например, только сдвиг, сдвиг и поворот и т. д. В этом случае оценка (1.5) приобретает вид

и содержит, как правило, небольшое число параметров. Такой подход применялся в ряде работ. Например, в [48] получена потенциальная точность оценок для частного случая ПД - параллельного сдвига между двумя сетками зашумленных отсчетов одного плоского гауссовского СП.

Рассмотрим задачу синтеза оптимальных алгоритмов оценивания межкадровых ПД в следующей постановке. Пусть заданы два кадра и определенного на -мерной сетке отсчетов . Будем считать, что каждый из кадров представляет собой аддитивную смесь информационного СП и белого СП

где - мерный вектор неизвестных параметров преобразования СП в , соответствующий каким-либо например, сдвигу по заданному или неизвестному направлению, изменению масштаба, повороту

и т. д. Известно, что и однородны и подчиняются гауссовским распределениям с нулевыми средними и заданными ковариационными функциями (КФ) где -

символ Кронекера. Для приведенных условий необходимо синтезировать алгоритмы оценивания неизвестных параметров а по совокупности наблюдений и провести анализ эффективности полученных оценок.

Для решения поставленной задачи запишем совместную плотность распределения вероятностей (ПРВ) двух кадров СП

Условное распределение является гауссовским с математическим ожиданием

Заметим, что - наилучшая в смысле минимума дисперсии ошибки оценка деформированного кадра СП (прогноз , сделанный на основе наблюдений ). Ковариационная матрица условного распределения

где - ковариационная матрица ошибок - прогнозирования деформированного информационного СП по наблюдениям первого кадра .

Для решения задачи оценивания неизвестных параметров а воспользуемся методом максимального правдоподобия (МП). Запишем (1.8) с учетом (1.9) в следующем виде

где индексы опущены для сокращения записи; - число точек в области . При наличии шумов зависимостью от а можно пренебречь. Тогда максимизация функции правдоподобия

эквивалентна минимизации следующей квадратичной формы

В ряде задач (в частности, при изображениях больших размеров) произведение можно считать не зависящим от параметра. Тогда поиск оптимальной оценки сводится к максимизации

по параметру а. Заметим, что в соответствии с правилами тензорного исчисления

то есть производится суммирование по одинаковым нижним индексам. Последнюю процедуру нахождения оценки по максимуму можно назвать оценочно-корреляционно-экстремальной. Действительно, она заключается в переборе всех возможных значений параметра а и нахождении максимума взаимной корреляции

наблюдений второго кадра СП и оценки информационного СП сделанной на основе первого кадра наблюдений.

После дифференцирования (1.11) по параметру а и приравнивания

производной нулю получим следующее уравнение для нахождения оценки а МП

При этом поиск наилучшей оценки может осуществляться, например, с помощью направленного перебора параметров а, который выполняется до обеспечения условия (1.14). Для детерминированного сигнала производная может рассматриваться как многомерная дискриминационная характеристика.

Таким образом, в результате анализа методом МП получены три вида: (1.11), (1.13) и (1.14) реализаций алгоритма оценивания векторного параметра а. Для анализа качества оценок воспользуемся неравенством Рао-Крамера.

Известно [26,28], что для несмещенных совместно эффективных оценок компонент вектора а ковариационная матрица ошибок определяется следующим выражением

где

После дифференцирования логарифма ПРВ (1.10) получим

Соотношение (1.15) позволяет при определенном виде вектора а и заданных моделях СП и помехи дать оценку нижней границы погрешностей, возникающих при решении задачи оценивания параметров ПД изображений.