1.4. Оценивание марковских сдвигов изменяющихся изображений

При решении многих прикладных задач требуется дать оценку пространственного сдвига временных сечений . Наиболее часто эта проблема встречается при обработке последовательностей двумерных изображений, полученных с помощью нестабильных во времени телевизионных камер. В этом случае оценка сдвига является составной частью алгоритмов улучшения изображений, выделения аномалий, обнаружения, распознавания объектов сложной формы и других процедур статистического анализа изображений.

Для решения поставленной задачи обычно используются корреляционно-экстремальные методы [6,29]. Однако при их практической реализации применительно к цифровой обработке изображений значительных размеров в реальном масштабе времени возникают практически непреодолимые технические трудности. Поэтому существует необходимость разработки относительно простых рекуррентных алгоритмов оценивания сдвига изображений, пригодных для реализации на базе современных вычислительных средств.

Представим модель наблюдений дискретизированного изображения в следующем виде:

где нелинейная тензорная [13] функция векторного аргумента определяет -мерный кадр заданный на сдвинутой на в -мерном пространстве прямоугольной сетке

- мешающее поле, которое во многих случаях можно полагать полем

независимых гауссовских величин с нулевым средним и автоковариационным тензором . Величина сдвига по каждой из координат определяется соответствующей компонентой вектора описываемого следующим стохастическим разностным уравнением:

где - матрица; - мерный белый гауссовский шум с нулевым средним и ковариационной матрицей .

Для описания СП воспользуемся тензорным стохастическим разностным уравнением

где - система независимых гауссовских величин с нулевыми средними и известным ковариационным тензором .

Решение задачи одновременного оценивания СП и вектора сдвига может быть найдено с помощью метода инвариантного погружения [13,46]. Для изображений больших размеров, как правило, выполняется условие малых взаимных ошибок одновременного оценивания СП и параметров В этом случае с учетом соотношений (1.24) и (1.25) можно получить [14] следующие рекуррентные соотношения для оценивания вектора сдвига

где - оценка очередного кадра изображения, найденная с помощью тензорного фильтра Калмана [13,46].

Соотношения (1.27), (1.28) соответствуют обычным процедурам рекуррентного оценивания, в которых осуществляется суммирование произведений сигналов ошибки на величину производной СП по каждой из координат. При больших размерах поля ковариационная матрица ошибок фильтрации близка к диагональной, тогда процедура фильтрации распадается на отдельных каналов, связанных между собой только оценками сдвига. В каждом из таких каналов вычисление оценок компонент сдвига осуществляется по следующим формулам:

где в предположении экстраполированные значения оценок и дисперсий ошибок определяются как

При этом диагональные элементы вычисляются по формуле

Для однородных полей больших размеров параметр

имеет очень малую относительную дисперсию и при расчетах ковариации ошибок может быть приближенно заменен математическим ожиданием. Тогда на основе соотношения (1.30) можно рассчитать дисперсию ошибки оценивания сдвига на шаге фильтрации в зависимости от величины и параметров и . Результаты расчетов показывают, что дисперсия ошибки монотонно убывает и при - стремится к установившемуся значению, определяемому выражением .

При эта формула упрощается и принимает вид .

Анализ уравнений фильтрации с помощью статистического моделирования показывает, что для решения реальных задач оценивания сдвига изображений по выходным сигналам фотоприемных матриц размером элементов указанные условия обычно выполняются и результаты эксперимента отличаются от расчетов по формуле (1.31) на величины, объясняемые конечным числом используемых реализаций . В этих условиях при алгоритм (1.27) преобразуется в следующую процедуру оценки межкадрового сдвига

Если, например, при для вычисления производных использовать квадратичную аппроксимацию, то

и алгоритм (1.33) может быть легко реализован. Кроме того, при малых уровнях аддитивных помех возможна замена значений поля на наблюдения , что приводит к увеличению погрешности оценивания, но резко сокращает вычислительные затраты.

Результаты статистического моделирования ряда квазиоптимальных алгоритмов оценивания изменяющихся сдвигов, полученных на базе процедуры (1.29) приведены во второй главе и работе [53]. Они дают возможность осуществить рациональный выбор вариантов построения современных и перспективных систем обработки последовательностей зашумленных изменяющихся изображений больших размеров со случайными деформациями пространственной сетки отсчетов.