3.4. Псевдоградиентные алгоритмы при незаданном наборе параметров модели пространственных деформаций

Если вид ПД не задан, можно задаться некоторой моделью деформаций считая ее параметры а переменными. Например, для плоских изображений можно ввести переменный сдвиг

где и - проекции вектора сдвига точки изображения относительно точки изображения . Для размерности изображений обобщение модели (3.71) очевидно

где - -мерная прямоугольная сетка. Модель (3.72) позволяет описать любые межкадровые ПД. Однако, если сдвиги при выбранном порядке обхода изображения изменяются быстро, их оценка с помощью ПГА (3.3) затруднительна. Подход к разрешению такой ситуации будет исследован ниже. Вначале же рассмотрим случай, когда

в выбранном направлении обхода изменяются достаточно медленно и их оценка оказывается возможной с помощью ПГА вида (3.3). Тогда

где - матрица усиления, , - локальная выборка ЦФ на итерации ПГА.

Для обеспечения достаточной вариабельности оценок при модели (3.72) параметры матрицы усиления должны быть ограничены снизу. Поэтому в дальнейшем для простоты будем полагать, что в (3.73) соответственно . Отметим, что аналитические и экспериментальные исследования показывают, что шаг должен примерно вдвое превышать изменения ПД по соответствующей координате.

Поскольку прямоугольная сетка, то для модели ПД (3.72) производная (3.44) изображения по оцениваемым параметрам упрощается:

Тогда при выборе СКМР в качестве ЦФ для (3.73) приходим к алгоритму

Экспериментальные исследования показали [51,58], что при коэффициенте межэлементной корреляции 0.5 - 0.99 и незначительном уровне шумов , в (3.74) достаточно, как правило, выбрать . Тогда

Несмотря на простоту, алгоритм (3.75) весьма эффективен при высокой сдвигов по направлению развертки изображений и относительно небольших межкадровых яркостных искажениях [58]. Однако в этом алгоритме осуществляется только одномерная фильтрация межкадровых не учитывающая их межстрочную и межкадровую коррелированность. Простейшие варианты использования многомерной коррелированности ПД заключаются в уточнении, сглаживании оценок, полученных при первом проходе изображений. Для этого выполняются повторные обходы при меньших значениях параметров в обратном и других направлениях (по столбцам, диагоналям), в ходе которых к уже полученным оценкам вводятся поправки.

При использовании в качестве ЦФ для (3.72) ВКМК приходим к алгоритму

При этом с учетом переменного характера элементы локальной выборки желательно выбирать непрерывно в некотором скользящем окне. Например, выбрав для двумерных изображений прямоугольное скользящее окно размером и ПГ (3.51), получаем

Заметим, что в алгоритмах (3.71) (3.77) на итерации используются оценки полученные на итерации. Однако, поскольку оцениваемые параметры изменяются, они в точках и различны. Поэтому при высокой скорости изменения параметров в направлении обхода целесообразно производить уточнение оценок на итерации, используя полученные оценки . Например, алгоритм, минимизирующий СКМР и использующий ПГ (3.49), при может быть записан в виде

При экспериментальных исследованиях с условиях небольших шумов алгоритм (3.78) показал высокую эффективность при выборе величины равной примерно половине.

Псевдоградиентные алгоритмы оценивания полей пространственных деформаций

С увеличением скорости изменения сдвигов по направлению обхода изображения необходимо увеличивать шаги в ПГА (3.73). Последнее, однако, приводит и к увеличению погрешности оценивания. В этой ситуации точность оценок не повысить и повторными проходами. Однако задачу повышения точности оценивания можно решить, если на каждом последующем проходе кроме текущей оценки сдвигов использовать информацию об оценках, полученных на предыдущих проходах. В качестве примера такого подхода рассмотрим применение ПГА, для оценивания поля представленного в виде матрицы деформаций размером (-размерность изображения), которая содержит оценки сдвигов всех точек изображения, соответствующих узлам сетки отсчетов кадра после прохода. При этом способ получения оценок может быть различным и определяться имеющимися представлениями о физической природе . Например, если априорно известно, что ПД достаточно гладкие и непрерывные, то на проходе может быть использовано усреднение в скользящем окне текущих

оценок сдвигов и некоторая их комбинация с элементами матрицы

полученными на предыдущем проходе. Если условие непрерывности не выполняется, могут быть использованы методы медианной фильтрации и т. д. Заметим, также что на проходе ПГ алгоритма текущие оценки могут быть получены с некоторым прореживанием или для части .

Будем считать, что все элементы матрицы определены на каждом проходе. Тогда ПГА, использующий матрицу деформаций, в общем виде можно записать как

- локальная выборка ЦФ на итерации прохода алгоритма; - номер прохода; - заданное число проходов.

Функциональная схема измерителя поля ПД, реализующего алгоритм приведена на рис. 3.14. Она содержит функциональный преобразователь, формирующий ПГ нелинейный преобразователь определяющий шаг ПГА на итерации прохода, дигратор, состоящий из линии задержки на время итерации и положительной обратной связи, функциональный

Рис. 3.14. Функциональная схема измерителя поля ПД.

преобразователь, формирующий матрицу и линию задержки на время прохода. Тройные стрелки, как и прежде, соответствуют матричным связям, двойные - векторным.

Выбирая для решения конкретной задачи ЦФ и ПГ, рассмотренные в разделе 3.2, получим различные ПГА. Так, выбрав в качестве ЦФ СКМР (3.33) и ПГ (3.39), и полагая для простоты где - текущая оценка в точке , получаем

Функциональная схема измерителя поля ПД, в основу которого положен алгоритм приведена на рис. 3.15. Она содержит функциональный преобразователь

релейный преобразователь, реализующий функцию и задающий направление шагов ПГА, величина которых определяется умножителем. Формирование матрицы деформаций осуществляется с помощью линии задержки на время прохода и сумматора.

Рис. 3.15. Функциональная схема измерителя поля ПД, реализующая алгоритм минимизации СКМР.

Часто, наряду с межкадровыми деформациями неизвестного вида, могут присутствовать ПД, набор параметров которых приблизительно известен, например, глобальные сдвиг, поворот и т. д. Тогда на каждом проходе алгоритма значения этих параметров могут оцениваться и уточняться, а элементы матрицы формироваться с их учетом. В качестве примера рассмотрим оценку по матрице следующего набора параметров глобальных межкадровых ПД двумерных изображений: угол поворота сдвиг центра изображения кадра коэффициенты масштаба по оси и по оси относительно. При этом будем предполагать, что все элементы матрицы определены равноточно.

Воспользуемся методом наименьших квадратов и моделью преобразования координат точки изображения на деформированном изображении

где - координаты точки изображения на кадре . По методу наименьших квадратов

В (3.84) минимизируются рассогласования оценок матрицы и оценок сдвигов для тех же пространственных координат, вычисленных с помощью заданной модели . После решения системы уравнений получаем

Заметим, что суммы в этих формулах могут содержать и произвольное число слагаемых, но тогда центром поворота и пересчета масштаба будет точка

где - число точек входящих в суммы (3.85) и (3.88). Указанное обстоятельство позволяет использовать в (3.85) и (3.88) не все оценки , а только их часть, удовлетворяющую некоторым условиям (например, оценки, обладающие наибольшей информативностью или соответствующие определенным областям изображения). Отметим также, что в частном случае при и

а при выражение для оценки угла поворота соответствует соотношению (2.49).

Можно показать, что если оценки и несмещенные, то несмещенными будут и оценки:

масштабного коэффициента при и

тангенса угла поворота при

Если дисперсии и равны , то дисперсии оценок параметров и определяются соотношениями

. Направление обхода поочередно изменялось по координатам и . Матрица формировалась в соответствии с (3.81). На рис. 3.16, в приведены оценки Следует отметить скачок в оценках, соответствующий разрыву параметра . Кроме того, на участке, соответствующем отсутствующему фрагменту изображения (рис. 3.16, б) оценки имеют существенно отличающиеся от остального изображения статистические свойства и поэтому такие участки могут быть легко выделены. Для области изображения до разрыва оценка глобальных параметров по соотношениям (3.88) дала следующие результаты .

На рис. 3.17 приведены результаты еще одного эксперимента, в котором использовался алгоритм . Здесь условный объект (рис. 3.17, а) на малоподвижном фоне (сдвиг фона , изменяет на следующем кадре (рис. 3.17, б) свое положение (сдвиг геометрического центра объекта , поворот изменение масштаба ). Оценка параметров

Рис. 3.17.

изменения положения объекта проводилась с помощью соотношений (3.85) - (3.88) с использованием двух наборов элементов матрицы :

а) по оценкам соответствующим зоне объекта;

б) по оценкам модуль которых превысил некоторый заданный порог.

Для первого подхода оценки составили , и . Для второго подхода по совокупности значений модуль которых не превышал 1.5, оценивалось смещение фона (соответствующие этому условию узлы сетки отсчетов показаны белым цветом на рис. 3.17, в). По совокупности оценок с модулем больше 4 определялись параметры изменения положения объекта (соответствующие узлы сетки отсчетов отражены на рис. 3.17, г). Для фона оценки составили: для объекта и . Из полученных результатов видно, что оценки параметров изменения положения объекта при обоих подходах примерно равны и имеют малые погрешности.

Таким образом, ПГА вида использующие матрицу деформаций, позволяют получить высокую точность оценок при большой скорости изменения ПД по направлению обхода, а также при разрывном характере деформаций.

Псевдоградиентная адаптация в морфологическом анализе изображений

Задача оценивания межкадровых ПД существенно усложняется, если изображения имеют значительные яркостные искажения, связанные с различием условий регистрации (точка зрения, оптический тракт и т. д. ). В таких случаях основанные на СКМР и ВКМК уже не могут служить критериями качества оценивания.

В работах [40,41] эта задача решается методами морфологического анализа. Основная идея состоит в том, что все возможные варианты наблюдений данной сцены можно описать некоторым классом преобразований одного из изображений

сцены, называемого формой изображения [41] и являющегося максимальным инвариантом класса регистрируемых изображений. Этот инвариант описывается системой индикаторных множеств. Все точки каждого индикатора имеют одинаковую яркость на любой незашумленной регистрации. В реальных ситуациях форма изображения недоступна, но отдельные изображения могут быть приняты за некоторое приближение формы, тогда, например, можно рассмотреть задачу об оценке геометрических искажений одного изображения относительно другого.

Применение методов морфологического анализа существенно затрудняется при динамичности самой сцены (то есть формы) и непараметричности геометрических трансформаций. Однако с такими ситуациями в ряде случаев успешно справляются адаптивные ПГА. Рассмотрим некоторые возможности комбинации морфологического анализа и псевдоградиентной адаптации [25,87].

Возможно формирование псевдоградиентными методами морфологического анализа как направления улучшения значений специфического функционала качества (например, расстояния между фрагментом одного изображения и его проекцией на другое [41]). Это направление может находиться аналитически, регулярными пробами, случайным поиском и т.д. Таким способом, в принципе, возможно оценивание ПД с неизвестным набором параметров.

Другой способ комбинации двух подходов состоит во взаимном уточнении. Оценки параметров, формируемые ПГА довольно уверенно сходятся даже при больших начальных отклонениях. Однако полученные оценки для локальных сдвигов могут быть и не очень точны, поэтому дальнейшее их уточнение можно провести методами морфологического анализа, для которых важно иметь хорошее начальное приближение локальных сдвигов и углов поворота, без которого область поиска становится просто необозримой.

Рассмотренный в разделе 3.3 адаптивный ПГА совмещения бинарных изображений может быть применен и для совмещения полутоновых изображений с неизвестным преобразованием яркостей, не обязательно монотонным. Идея заключается в том, что любое такое преобразование сохраняет линии одинаковой яркости. Поэтому при квантовании обоих изображений будут получаться близкие в смысле индикаторов изображения даже при несогласованности уровней

Рис. 3.18. Пример бинаризации изображений по уровням равной яркости.

квантования. Далее полученные изображения можно привести к бинарным, принимая, например, четные уровни квантования за 0, а нечетные - за 1. Эта методика позволила совмещать имитированные (волновые) и реальные телевизионные изображения при больших яркостных искажениях. При этом применение ПГА, в которых в качестве ЦФ использовались СКМР или ВКМК, оказалось безуспешным. На рис. 3.18 приведен пример применения описанного подхода. Яркости исходного изображения (рис. 3.18, а) были произвольным образом преобразованы, полученное изображение смещено на шага по вертикали, на - по горизонтали и повернуто на угол радиана (рис. 3.18, б). Полученные бинаризованные изображения (рис. 3.18, в и г) уже довольно близки между собой. После их сглаживания путем свертки с гауссовской функцией и оценивания вектора параметров ПГА вида (3.64) были получены результаты: радиана.