3.2. Рекомендации по выбору вида псевдоградиента

Важнейшим моментом при синтезе адаптивных ПГА вида (3.3) является нахождение ПГ функционала качества или его усечения. При обработке СП часто выражается через математическое ожидание некоторой функции

Например, это может быть средний квадрат ошибки некоторых параметров. Тогда

где - точное значение параметра; - его оценка. К (3.14) приводят задачи прогноза, фильтрации СП и многие другие.

Если реализации или наблюдаемы (например, в задачах прогноза), то в качестве псевдоградиента можно выбрать

или его сужение

на скользящую часть реализации . Если при этом возможно дифференцирование под знаком математического ожидания в (3.13), то условие псевдоградиентности (3.4) выполняется.

При ненаблюдаемости реализаций функции (3.14) может быть введен вспомогательный наблюдаемый функционал качества. Например, при оценке математического ожидания случайной величины можно выбрать

при оценке среднего квадрата случайной величины -

при оценке коэффициента корреляции между центрированными случайными величинами и У с одинаковыми дисперсиями -

где и - значения и в испытании.

Выбор целевых функций при оценивании параметров межкадровых пространственных деформаций изображений

Пусть каждый из кадров и определенного на сетке отсчетов представляет собой аддитивную смесь информационного СП и белого СП

где - -мерный вектор неизвестных параметров преобразования СП в , соответствующий . Тогда при оценивании а функционал качества ПГА можно определить из полученных методом

максимального правдоподобия соотношений (1.11) и (1.13), определяющих условия построения оптимальных алгоритмов. Так, из соотношения (1.11), минимизирующего квадратичную форму, получаем градиент

.

Учитывая ковариационная матрица условного распределения

соотношение (3.20) можно переписать в виде:

Например, в предположении, что - отсчеты известной детерминированной функции и ковариационная матрица принимает вид

где - дисперсия шума. Тогда из (3.21) получаем градиент

обеспечивающий минимальную дисперсию погрешности оценивания, определяемую соотношением (1.18).

Для задач, в которых произведение (а можно считать не зависящим от параметра функционал качества можно определить из соотношения (1.13). Тогда

При этом заметим, что для нахождения оптимальных оценок а требуется максимизация (1.13). Это обстоятельство обусловливает выполнение шагов рекуррентного алгоритма (3.3) не в направлении антиградиента, а в направлении гра-

диента, чему в (3.23) соответствует знак минус. Таким образом, при построении квазиоптимальных ПГА оценивания ПД изображений требуется как минимизация функции потерь (1.11), так и, в ряде случаев, максимизация функции качества (1.13).

Выражения (3.21) и (3.23) с учетом наложенных при их выводе ограничений определяют оптимальные целевые функции (ЦФ) для рекуррентных алгоритмов при конкретных реализациях изображений и . Однако указанные соотношения предполагают громоздкие вычисления и на современном этапе не реализуемы в системах реального времени.

Возможности сокращения вычислительных затрат за счет выбора

псевдоградиента

Как уже отмечалось в разделе 3.1, сокращения числа операций при оптимизации ЦФ можно добиться переходом к например, вместо можно использовать его усечение где - локаль выборка ЦФ на итерации;. Тогда в соответствии с (3.21) получаем ПГ

а в соответствии с (3.23) - ПГ

Большего сокращения вычислительных затрат можно достичь, предположив, что в и наблюдается одна и та же реализация (СП не изменяется от кадра к кадру). Тогда и выражения (3.24) и (3.25) существенно упрощаются

В (3.26), (3.27) и далее в выражениях для ПГ опущен постоянный множитель, как не влияющий на направление ПГ.

Отметим также, что выражение (3.26) для оценки ЦФ аналогично (3.24), полученному для ситуации, когда - отсчеты известного изображения.

Дальнейшего уменьшения вычислительных затрат в ПГА оценивания ПД можно добиться заменив прогноз значений деформированного кадра

более простой оценкой. Эта оценка может быть получена, например, на основе некоторой интерполяции, в качестве параметров которой на очередной итерации

используются оценки а параметров полученные на предыдущей итерации. Тогда локальная выборка ЦФ на итерации

где - непрерывное изображение, полученное из с помощью некоторой терполяции; и соотношения (3.26) и (3.27) для ПГ примут вид

Заметим, что выражения для ПГ (3.26) и (3.30) соответствуют задаче минимизации среднего квадрата межкадровой разности (СКМК)

Таким образом, ЦФ в этом случае является СКМР

изображения и изображения определенного на сетке отсчетов где соответствует для соотношения (3.26) и для соотношения (3.30).

Выражения (3.27) и (3.31) служат решению задачи максимизации выборочного коэффициента межкадровой корреляции (ВКМК)

где и - оценки СКО изображений и . Соответственно в этих случаях ЦФ является ВКМК и

В отличие от (3.33) ЦФ (3.35) инвариантна к глобальному изменению интенсивности отсчетов изображения то есть при использовании ЦФ (3.35) моделью наблюдений может быть

где и некоторые константы. ЦФ (3.33), использующая межкадровые разности, требует, строго говоря, выполнения равенств и

Таким образом, использовать СКМР в качестве ЦФ целесообразно при

сутствии у изображений и мультипликативных искажений и помех типа постоянной составляющей. Если же изображение представимо моделью (3.36), то в качестве ЦФ целесообразно использовать ВКМК.

Как уже отмечалось, во многих случаях в качестве ПГ ЦФ можно выбрать

где - векторная функция той же размерности, что и . Например, в качестве может быть использовано линейное преобразование с положительно определенной матрицей. Если ошибки у в определении градиента имеют симметричные относительно нуля распределения, то псевдоградиентность сохраняется при любой нечетной функции

Очень простые и в то же время хорошо сходящиеся алгоритмы получаются при выборе в качестве знаковой функции [71]

где . При использовании (3.38) в ПГ алгоритме (3.3) каждая компонента , вектора отличаются от соответствующей компоненты на . Если при этом каждая из компонент ошибки принимает положительные и отрицательные значения с равными вероятностями, то условие псевдоградиентности (3.4) выполняется.

Применяя знаковую функцию к соотношениям (3.30) и (3.31), получаем: для СКМР

для ВКМК

Если в качестве ЦФ выбран СКМР, то в ряде случаев (например, при наличии в отдельных отсчетах изображения импульсных помех большой интенсивности) целесообразно использовать ПГ

Выбор (3.41) позволяет, с одной стороны, существенно уменьшить влияние импульсных помех на процесс сходимости, поскольку независимо от величины помехи - принимает значения только и . С другой стороны, если значение принадлежит более информативному участку изображения (с большей крутизной по параметру), то и соответствующий этому отсчету вклад в коррекцию оценки параметра на очередной итерации будет большим, чем для отсчета, соответствующего меньшей крутизне.

При отсутствии импульсных помех в изображениях и и небольшом коэффициенте корреляции между смежными отсчетами изображения (что ведет к низкой точности оценок производных иногда целесообразно использование ПГ

Аппроксимации производных случайного поля по оцениваемым параметрам

В выражения (3.26) и (3.27) входят производные по оцениваемым параметрам а величины а в выражения (3.30) и (3.31) - производные величины . Однако изображение как правило, неизвестно и может рассматриваться как реализация случайного поля. Производные и в этом случае могут быть оценены по наблюдаемым значениям и . Рассмотрим несколько простых подходов к получению таких оценок.

Пусть модель преобразования изображения в задана и задача состоит в оценке параметров этой модели. Известны также явные выражения для новых координат точки изображения после пространственной деформации как функции

Используя свойство сложной производной, можно записать

Тогда ПГ (3.30) для СКМР принимает соответственно вид

а ПГ (3.31) для ВКМК

В простейшем случае оценки производных могут быть получены при использовании квадратичной интерполяции (в дальнейшем такие оценки производных будем называть квадратичными оценками)

где - приращение по координате . При выборе равном шагу сетки отсчетов

Тогда для соотношений (3.45) и (3.46) соответственно получаем

где определяется выражением (3.48).

Число вычислительных операций в соотношениях (3.49) и (3.50) может быть сокращено в предположении равенства производных по координатам для отсчета изображения и отсчета изображения (это условие приближенно выполняется при небольших отклонениях а от истинных значений ). Тогда ПГ при минимизации СКМР можно записать в виде

или в виде

.

Проведенные исследования показали, что при ПГ (3.52) по сравнению с (3.51) обеспечивает лучшую сходимость. Объясняется это тем, что при использовании (3.52) достигается более точная оценка производной . В ряде случаев целесообразнее искать оценку производной ЦФ по параметру без использования оценок производных по координатам сетки отсчетов изображения. Такие ситуации возникают, если по тем или иным причинам вычисление оценок производных по координатам невозможно или более трудоемко по сравнению с вычислением оценок . Рассмотрим такой подход подробнее.

Обозначим оценку ЦФ на итерации ПГА через . Тогда для итерации

где - приращение параметра

Пусть в качестве ЦФ выбран СКМР, оценкой которого на итерации является величина

где - объем двумерной выборки . Тогда проекция ПГ на параметра

Если же в качестве ЦФ выбран ВКМК, то

где - среднее значение

В последующих разделах данной главы приведены примеры использования рассмотренных выше ПГ при построении рекуррентных адаптивных алгоритмов оценивания в реальном времени взаимных ПД изображений.