15. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ И СЛАБЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ

Сейчас мы покажем, как делать количественные вычисления для тех процессов, которые мы можем рассчитывать! Я сформулирую результаты и приведу эвристические доводы в пользу их справедливости. У меня нет уверенности в том, что следует начинать с теории поля, так как она не является внутренне последовательной теорией. Во всяком случае, я хочу оставить место для новых идей.

У вас могут возникнуть большие методические трудности при изучении физики таким способом. Возможно, было бы легче учить ее в исторической последовательности, переходя от уравнения Шредингера к уравнению Дирака и от квантования гармонических осцилляторов к операторам рождения и уничтожения, и, наконец, к амплитудам различных процессов. Вместо всего этого мы сразу дадим правила для построения результирующей амплитуды — поскольку эти правила гораздо проще, чем шаги, ведущие к ним. Кроме того, концепции, с которых в этом случае нам пришлось бы начинать (например, уравнение Шредингера), являются приближенными и полезны только при выполнении некоторых условий. Здесь существенно для истинного физического понимания представлять, каким образом уравнение Шредингера вытекает из более фундаментальных законов. Разумеется, для лучшего исторического и педагогического восприятия было бы целесообразно начать с уравнения Шредингера и следовать описанным выше традиционным путем — хотя, конечно, полной дедукции здесь достичь бы не удалось, так как время от времени пришлось бы добавлять новые элементы типа матриц Дирака и т. п.

Этот путь — долгая и каменистая тропа к переднему краю физики.

Вместо этого давайте совместными усилиями произведем педагогический эксперимент. Я попытаюсь сразу поставить вас на этот передний край, так чтобы вы смогли сделать две вещи.

Во-первых, взглянуть вперед в неведомое, представить себе наиболее важные нерешенные проблемы, а также достигнутый в них прогресс, и, может быть, помочь в решении некоторых из них.

Во-вторых, оглянуться назад и постараться предста вить себе, что многие различные понятия, которые вы изучали, начиная от законов Ньютона и кончая уравнениями Максвелла и уравнением Шредингера, все являются следствиями тех закономерностей, которые вы узнаете теперь.

Эти последние не являются очевидными, и вам будет не очень легко принять правила, которые мне придется сформулировать откровенно искусственным путем. Однако именно таким правилам следует природа; она «понимает» уравнение Шредингера как приближенное уравнение, описывающее большое количество взаимодействий между большим числом медленно движущихся частиц.

Основными элементами здесь являются «ключевые» взаимодействия между небольшим числом частиц, движущихся с произвольной скоростью. К их изучению мы сейчас и обратимся.

Единственными взаимодействиями, для которых сейчас мы располагаем достаточно аккуратным количественным квантовомеханическим описанием, являются электромагнитное взаимодействие и взаимодействие Ферми (т. е. взаимодействие, ответственное за -распад).

Будем рассматривать процессы, в которых участвует небольшое число частиц, способных взаимодействовать между собой, распадаться, порождать другие частицы и т. п. Каждый такой процесс описывается амплитудой; квадрат модуля амплитуды дает вероятность процесса. Начнем со случая, когда нет виртуальных частиц. Процессы с виртуальными частицами более сложны, и их мы рассмотрим позднее. Мы также ограничимся вначале частицами нулевого спина (скалярными частицами) для того, чтобы излишне не усложнять изложения одновременным введением спина и релятивизма.

Волновая функция скалярной частицы имеет лишь одну компоненту. При преобразованиях (вращениях или преобразованиях Лоренца)

Что происходит при пространственных отражениях

Если , то мы говорим о «скалярной» частице; соответствует «псевдоскалярной». Конечно может не удовлетворять ни тому, ни другому из этих уравнений. Мы предположим, что свободная частица представляется плоской волной

где . Это гипотеза восходит к де Бройлю. Множитель не меняется при преобразованиях координат.

Затем нам нужно найти выражение для вероятности. Вероятность, отнесенная к единичному объему, должна быть четвертой компонентой 4-вектора , поскольку полная вероятность

должна быть инвариантом. Здесь — вероятность нахождения частицы в одном кубическом сантиметре (также вероятность перехода частицы из прошлого в будущее), a S — вероятность прохождения через поверхность, перпендикулярную к S, отнесенная к .

Рис. 15-1.

Рис. 15-2.

Произведение является скаляром и поэтому не может представлять . Пространственный интеграл от есть не что иное, как поверхностный интеграл в пространстве четырех измерений (см. рис. 15-1). Обобщение очевидно:

где N — единичная нормаль к поверхности такая, что — элемент поверхности.

Предположим, что частица находится в некоторой конечной области пространства (так что и не есть плоская волна). Возможно ли, находясь в другой лоренцевой системе отсчета, вычислить интеграл вероятности в этой системе и получить такой же результат? Напоминая, что на пространственно-временной диаграмме «движущаяся» система вращается, мы рассмотрим схематическую картину, изображенную на рис. 15-2.

Поскольку частица локализована в заштрихованной области, S равны нулю на некотором расстоянии от ее границы и мы можем замкнуть путь интегрирования, как указано пунктирными линиями на рисунке.

Оба наблюдателя получат тот же самый ответ при условии, что

На основании теоремы Гаусса это можно получить, если выполняется уравнение

которое выражает закон сохранения вероятности.

Мы видели, что для плоской волны произведение не может служить плотностью вероятности. Поскольку в нашем распоряжении есть только один -вектор, , то

(множитель 2 введен согласно традиции). Это дает

Имеет ли это смысл? Отметим, что плотность в движущейся системе увеличивается как раз пропорционально Е. Благодаря этому можно положить в любой системе, релятивистская нормировка равна тогда на . Это несколько дикая нормировка, но она очень употребительна. Мы всегда будем ее использовать.

Что можно сказать о более общем выражении для ? Для плоской волны

В общем случае следует использовать более симметричное выражение

Теперь мы все определили и можем переходить к вычислениям. Напомним знаменитую формулу для вероятности перехода в единицу времени

вычисляемую для .

Такая форма записи, однако, неудобна для наших целей. Я перепишу ее так, что ее трудно будет узнать. Во-первых, для того чтобы использовать нашу нормировку, мы должны ввести множители для каждой из частиц, участвующих в процессе. Учитывая, кроме того, что мы будем всегда работать с континуумом состояний, получаем

Здесь нужно отметить, что, из-за закона сохранения импульса в конечном состоянии, отсутствует множитель . Для того чтобы симметризовать формулу относительно всех частиц в конечном состоянии, можно ввести фактор

Множитель также можно заменить -функцией или, что эквивалентно, можно было начать с формулы

справедливой для перехода между двумя любыми состояниями i и f.

Напомним далее, что

Теперь мы можем избавиться от асимметрии между и Е в нашей формуле, так как

Поэтому

где .

Собирая результаты, имеем окончательно

Множитель соответствует глобальному сохранению энергии и импульса.

Мы часто будем переходить из конфигурационного пространства в импульсное и обратно. Условимся о следующих обозначениях:

При таком соглашении дифференциал всегда сопровождается множителем , а импульсная -функция — множителем .

Следует сделать еще одно более важное замечание. Большое удобство нашей формулы состоит в том, что амплитуда оказывается лоренцевым инвариантом. Поэтому мы можем выбирать систему отсчета для вычисления по своему усмотрению.

Для примера рассмотрим распад частицы. Вероятность распада в движении уменьшается пропорционально , что, разумеется, соответствует релятивистскому замедлению времени. Я предлагаю вам попробовать разобрать следующий пример, который я детально рассмотрю позднее.

Рассмотрим распад каона на два пиона (отвлекаясь от электрического заряда)

К- и -мезоны имеют нулевой спин и амплитуды . Допустим, что амплитуда процесса имеет вид

Здесь множитель соответствует традиции (рационализованная система единиц), характеризует интенсивность взаимодействия, а масса введена для того, чтобы сделать безразмерной. Множители введены лишь для того, чтобы напоминать о процессе соответствует рождению частиц, а — уничтожению частиц), и в вычислениях приравниваются единице. Определите значение , соответствующее экспериментальному времени жизни -мезона.