30. МЕЗОННАЯ ТЕОРИЯ

Вам уже приходилось видеть уравнение Дирака (или уравнение Шредингера), записанное в форме

где А есть внешний потенциал. Важно установить, что этот результат представляет собой приближение к правилам, которые мы установили, и может быть получен из них. Зададим поэтому вопрос: при каких условиях часть взаимодействия может быть описана внешним потенциалом?

Рассмотрим взаимодействие электрона с некоторым объектом (детали которого не существенны), рождающим виртуальные фотоны, причем амплитуда рождения виртуального фотона с импульсом q и поляризацией равна .

Рис. 30-1.

Тогда матрица, описывающая взаимодействие, изображенное на рис. 30-1, равна

Здесь — «истинный» 4-импульс электрона, поглотившего фотон.

Источник может испустить два, три или четыре фотона. Пропагатор, соответствующий поглощению двух фотонов, имеет вид

где — амплитуда испускания двух фотонов, и т. д.

Важную роль играют источники, состояние которых не изменяется в результате испускания первого фотона. Это означает, что

Для подобных источников амплитуда излучения второго фотона не зависит от того, был ли испущен первый фотон или нет.

Очевидно, что одно из требований сводится к тому, что источник остается в прежнем состоянии после эмиссии первого фотона. Так, например, у тяжелой частицы отдача при излучении фотона оказывается пренебрежимой.

В качестве другого, более тонкого, примера рассмотрим большой магнит, содержащий много электронов. Отдельный электрон не может быть источником обычного внешнего магнитного поля, поскольку примерно в половине случаев спин электрона переворачивается при испускании виртуального фотона. Но для куска железа дело обстоит иначе. Определим для единичного электрона две амплитуды и :

— амплитуда того, что он остается в том же состоянии, после того как магнитом испущен один фотон ,

у — амплитуда перехода в другое состояние.

Пусть число электронов в образце железа равно N. Тогда амплитуда того, что электроны останутся в том же состоянии, равна , а амплитуда изменения состояния электрона равна , поскольку переворот спина дает возможность идентифицировать отдельный электрон. Соответствующие вероятности равны и , так что амплитуда того, что образец остается в том же состоянии, эффективно оказывается в раз больше.

Только при этих условиях мы можем сказать, что источник рождает внешний потенциал. (Строго говоря, мы предполагаем, что амплитуда рождения трех фотонов равна и т. д. для произвольного числа.)

Полный пропагатор для электрона во внешнем поле оказывается равным

плюс аналогичные члены высших порядков (подразумевается интегрирование), поскольку электрон может поглотить любое число фотонов.

Этот ряд можно просуммировать. Мы покажем два способа.

Во-первых, «действительный» импульс

будем считать оператором, меняющим свое значение после действия , где

Тогда вместо исходного получаем ряд

являющийся разложением .

Другой путь таков. Рассмотрим диаграммы рис. 30-2. В каждой диаграмме есть «последний» фотон.

Рис. 30-2.

Какова амплитуда того, что электрон находится в состоянии после поглощения последнего фотона? Здесь также есть амплитуда состояния, возникающего в результате поглощения всех фотонов, за исключением данного конечного числа.

Поэтому выражение (где — амплитуда состояния перед поглощением «последнего» фотона, — амплитуда поглощения конечного фотона, — пропагатор между двумя поглощениями) плюс амплитуда того, что электрон движется без поглощения фотона, снова равна

где

Поэтому

Иными словами, если есть амплитуда электрона после поглощения фотонов, то

и

Мезонная теория.

В настоящее время нет количественной мезонной теории. Современная модель основана на аналогии с электродинамикой (табл. 30-1). Эта теория, несомненно, является порождением человеческого ума! Она неверна, поскольку природа более изобретательна.

При наличии желания можно нарисовать диаграммы, соблюдая правильную бухгалтерию для учета сохранения заряда. Однако диаграммы соответствуют теории возмущений, и, поскольку (а не ), каждый последующий член оказывается более важным, чем ему предшествующий!

Взаимодействие называется псевдоскалярным (ПС). Также возможна связь — псевдовекторная (ПВ).

Однако против ПВ-взаимодействия существует предубеждение — оно не может быть перенормировано, так как каждый последующий порядок теории возмущений расходится сильнее предыдущего из-за лишней степени импульса в числителе.

Таблица 30-1.

Возникает впечатление, что если бы теория была в основных чертах верной, то эксперимент уже дал бы нам некоторые намеки на структуру правильных приближений.