Макеты страниц
22. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 1/2Вернемся к двухкомпонентному спинору, поведение которого при пространственном вращении на угол где Поэтому нам нужны шесть операторов, для того чтобы представить произвольное преобразование Лоренца, соответствующие шести вращениям в четырехмерном пространстве. Эти величины образуют антисимметричный тензор с компонентами причем Либо с помощью алгебраических выкладок (рассматривая последовательные преобразования Лоренца), либо с помощью рисунков находим коммутационные соотношения и циклические перестановки. Все остальные пары коммутируют, т. е., например, Эти правила объединяются в следующую формулу: Теперь найдем представление операторов N, действующих на двухкомпонентный спинор Мы могли бы заменить вопросительные знаки некоторыми неизвестными и получить для них уравнения, используя коммутационные соотношения и равенство Заметим, что Подставим эти выражения в коммутационное соотношение Имеем Поэтому С помощью циклической перестановки находим также Итак, Для того чтобы определить Мы можем выбрать здесь любой знак. Допустим, что мы выбрали Рассмотрим, однако, трансформационные свойства спинора, полученного отсюда с помощью зеркального отражения. При отражении Вводя обозначение где w — быстрота. Рассмотрим, например, состояние плоской волны Мы можем построить формулу для общего случая, рассмотрев преобразования для Поскольку оператор Так как то и, следовательно, а также Сразу видно, что пара Для того чтобы заключить, что набор величин Таким образом, мы обнаружили новый Оказывается, что Пусть спин частицы направлен вверх по оси Здесь возникает трудность, поскольку ток вероятности Заметим, что для данного случая имеет место соотношение и если Следовательно, данное рассмотрение справедливо лишь для частиц с массой (Докажите его сначала для или Последнее соотношение можно взять в качестве закона, описывающего нейтрино. Оно справедливо для каждой плоской волны и, следовательно, для суперпозиции таких волн, где или где Расписанное в полном виде общее уравнение будет Обозначим означающему, что частица всегда вращается по часовой стрелке относительно направления движения. В действительности из эксперимента мы знаем, что нейтрино вращается против часовой стрелки. Напомним, однако, что для этого есть вторая возможность в выборе знака для N. Для преобразуется подобно В этом случае получаем уравнение Частица, описываемая спинором Существенно отметить, что Мы будем называть и
|
Оглавление
|