17. ПРОПАГАТОР СКАЛЯРНОЙ ЧАСТИЦЫ

Я постараюсь представить правило для написания пропагатора менее искусственным, связав его с вещами, вам уже известными. Рассмотрим еще раз пример -рассеяния (рис. 17-1).

Рис. 17-1.

Мы уже говорили, что амплитуда имеет вид

Теперь рассмотрим член низшего порядка в обычной квантовомеханической теории возмущений

в котором сумма берется по промежуточным состояниям . Вклад диаграммы рис. 17-1 в эту сумму равен

где

Рис. 17-2.

Теперь примем во внимание, что в обычной теории возмущений процесс с обратным во времени порядком событий (т. е. вершин) рассматривается отдельно как рождение пары, за которым следует аннигиляция позитрона с начальным электроном.

Энергия промежуточного состояния поэтому равна (рис. 17-2).

Вспоминая наши правила для начальных и конечных частиц, видим, что есть конечное (начальное) состояние. Поэтому мы имеем

Сумма двух матричных элементов оказывается разной

Заметим еще, что

и что множитель есть как раз фактор нормировки. Таким образом, идея попятного движения во времени упрощает получение окончательного результата. Каждый из двух членов по отдельности не является инвариантным. Однако, комбинируя их, мы приходим к явно инвариантному выражению. Этот пассаж не является доказательством нашего правила для пропагатора, он скорее разъясняет его физическое содержание.

Вот другой способ получения того же правила для пропагатора.

На основе частного решения для свободной частицы

можно записать общее решение для свободной частицы в виде

Заметим теперь, что

Поэтому

или

где

Предположим теперь, что есть источник частиц. Мы постулируем тогда, что

Это уравнение можно решить с помощью преобразования Фурье

(Заметьте, что как мы более не имеем дела со свободной частицей.)

Преобразованное уравнение имеет вид

Поэтому, если нам известен источник, то

Последнее выражение и поясняет происхождение про пагатора.

Возвращаясь к , получаем

или

где

есть пропагатор в пространстве-времени.

Для того чтобы придать смысл этому выражению, необходимо задать правила обхода полюсов в подынтегральном выражении.

Рис. 17-3.

С этой целью добавим к массе (инварианту) бесконечно малую отрицательную мнимую часть и проинтегрируем сначала по :

Здесь подразумевается переход к пределу в конце выкладки.

Такой рецепт смещает полюсы из в точки , что эквивалентно интегрированию по контуру, изображенному на рис. 17-3. При мы замыкаем контур в нижней полуплоскости. Поэтому

Как видно, при дают вклад только положительные энергии. При мы должны замкнуть контур в верхней полуплоскости. В этом случае в

дают вклад только отрицательные энергии. Тем самым мы убедились, что правило эквивалентно ранее введенным правилам прямого и обратного движения во времени.

Таким образом, правильная формула для пропагатора частицы со спином 0 такова: