5. РЕЛЯТИВИЗМ

Вы все знакомы с преобразованиями Лоренца. Для движения вдоль оси z формулы, связывающие две лоренцевы системы отсчета, имеют вид

где мы положили и ввели величину и (которую специалисты именуют "быстрой"!):

Отметим, что выписанные уравнения эквивалентны формулам вращения на мнимый угол . При двух последовательных преобразованиях в одном и том же направлении быстроты складываются, т. е. если быстрота между системами отсчета равна и, а между системами она равна v, то преобразованию от системы 1 к системе 3 соответствует быстрота . Преобразования в различных направлениях не коммутируют. Совокупность всех лоренцевых преобразований (включая повороты) образует группу.

Задача 5.1. Допустим, что имеется объект со спином в пространстве трех измерений, или рассмотрим более общее состояние, описываемое амплитудой

Что случится с а при преобразовании Лоренца?

Подсказка: Мы уже рассматривали эту задачу для преобразования вращения. Если время позволяет, рассмотрите вопрос о нормировке.

Напомним, что величина есть инвариант. Введем следующие обозначения: хесть вектор с компонентами . Если вектор преобразуется как , то мы будем называть а -вектором. Так, например, представляет собой -вектор, причем

Четырехмерное инвариантное скалярное произведение двух -векторов и равно

Введем величину

Заметим, что . Введем еще 4-вектор

Полезным инвариантом является также произведение . Искусное употребление инвариантов в вычислениях часто позволяет избежать прямого использования преобразований Лоренца. В качестве простого примера рассмотрим р—р-рассеяние: какова минимальная энергия, необходимая для рождения протон-антипротонной пары?

Имеем . Поэтому , откуда . Таким образом, необходимая кинетическая энергия равна .

Волны. Как известно, частице с энергией-импульсом сопоставляется волна

Сразу очевидно, что фаза волны инвариантна при ло-ренцевых преобразованиях. В действительности именно из этих соображений де Бройль нашел соотношение между энергией, импульсом, длиной волны и частотой. Задача 5-1 тем самым сводится к тому, чтобы установить, как преобразуется .

Заметим, что

Положительные и отрицательные энергии. Уравнение имеет два решения:

Замечательно то, что мы должны оба решения рассматривать серьезно. Оказывается, что существуют частицы, описываемые решениями как с положительной, так и с отрицательной частотами. При амплитуда , а при . Эти два случая соответствуют частицам и античастицам.

Рис. 5-1.

Рис. 5-2.

Изобразим рассеяние классической частицы на пространственно-временной диаграмме, приведенной на рис. 5-1. (Здесь заштрихованная область представляет внешний источник, рассеивающий частицы.)

Рис. 5-3.

Теперь попытаемся представить, что случилось бы, если если бы траектория (или, в рамках квантовомеханического рассмотрения, волна) могла быть направлена вспять во времени! Подобная ситуация изображена на рис. 5-2. Обычным способом такой процесс может быть описан следующим образом (см. рис. 5-3). При имеется только начальный электрон.

В момент внешний потенциал рождает электрон-позитронную пару. В момент позитрон аннигилирует с начальным электроном, так что при t остается только рассеянный электрон.

Вместо такого рассуждения мы хотим обобщить идею рассеяния и считать, что электрон рассеивается назад во времени от к . Поэтому обычный позитрон проявляется как электрон, движущийся во времени вспять. Два процесса «двойного рассеяния», изображенные на рис. 5-3, теперь отличаются только порядком во времени последовательных актов рассеяния, если следовать за электроном вдоль его мировой линии. (Могло бы сложиться впечатление, что такая интерпретация подразумевает возможность получения информации из будущего, однако детальный анализ показывает, что причинность не нарушается.)

Теперь посмотрим, каким образом такая точка зрения решает проблему отрицательных энергий. Мы будем говорить о начальном (прошлое) и конечном (будущее) состояниях. Введем также понятие входящего и выходящего состояний (которые не имеют никакого отношения ко времени). В матричном элементе есть входящее состояние, а у — выходящее состояние. Для того чтобы определить входящие и выходящие состояния, будем следовать вдоль мировой линии частицы, даже если придется идти вспять во времени. Применительно к позитрону на рис. 5-3, б мы видим, что выходящеесостояние для рассеяния при естьначальное состояние позитрона. Например, матричный элемент для рассеяния электрона равен

тогда как для рассеяния позитрона получим

Полное правило гласит:

Для электронов - входящее состояние в матричном элементе есть начальное состояние, а выходящее состояние в элементе есть конечное состояние.

Для позитронов — входящее состояние вматричном элементе есть конечное состояние, а выходящее — начальное.

Рассмотрим пробный пример. Допустим, что электрон теряет некоторую энергию в акте рассеяния: . Тогда матричный элемент зависит от времени следующим образом:

(таким образом, видно, что , если оператор М «поглощает» энергию).

В случае позитрона . Если рассматривать позитрон по-старому (что неправильно!), то временная зависимость будет

т. е. и в процессе рождается энергия!

Однако согласно нашему правильному рецепту мы должны написать

так что и энергия, поглощаемая оператором М, соответствует потере энергии позитроном, как нам и нужно.

Можно взять более сложный случай. Так, например, амплитуда аннигиляции пары равна

тогда как амплитуда рождения пары будет

Как видно, если оператор М поглощает энергию, то в (1) он поглотит всю энергию пары, тогда как в (2) он даст нуль и т. п.

Первая интерпретация состояний с отрицательной энергией была дана Дираком, который использовал принцип исключения Паули для того, чтобы запретить электронам падать на уровни с отрицательной энергией (рис. 5-4). Согласно его идее все состояния с отрицательной энергией заполнены вплоть до . Это бесконечное море является ненаблюдаемым. Но мы можем заметить пузырьки в море, т. е. отсутствие электрона в каком-либо состоянии с отрицательной энергией. Такой пузырек и есть позитрон.

Рассмотрим, например, рассеяние позитронов. Каким образом позитрон может перейти в другое состояние? Электрон падает в первоначальную дырку, оставляя вакансию — дырку, т. е. позитрон, вместо себя (в состоянии с энергией и импульсом ) (рис. 5-5).

Рис. 5-4.

Матричный элемент для этого процесса

совпадает с выражением, к которому мы пришли с помощью аргументов, использующих обращение времени.

Рис. 5-5.

Наш подход имеет то преимущество, что вам не приходится вводить бесконечное море электронов. Но для бозе-частиц вы не смогли бы «заполнить море и в миллионы лет». После создания квантовой механики прошло восемь лет, прежде чем Паули и Вайскопф предложили должную практику уравнения Клейна — Гордона.

Интерпретация бозонных состояний с отрицательной энергией оказалась совершенно отличной от теории Дирака и использовала идеи метода вторичного квантования (Паули и Вайскопф [6]). Однако эта интерпретация совершенно эквивалентна нашему правилу, по которому для античастиц всего лишь меняется роль "входящих" и "выходящих" состояний.

(Лекции, с 6-й по 14-ю, представляют собой содержание неопубликованного обзора по странным частицам, написанного Р. Фейнманом и М. Телл-Манном.)