Макеты страниц
5. РЕЛЯТИВИЗМВы все знакомы с преобразованиями Лоренца. Для движения вдоль оси z формулы, связывающие две лоренцевы системы отсчета, имеют вид где мы положили Отметим, что выписанные уравнения эквивалентны формулам вращения на мнимый угол Задача 5.1. Допустим, что имеется объект со спином Что случится с а при преобразовании Лоренца? Подсказка: Мы уже рассматривали эту задачу для преобразования вращения. Если время позволяет, рассмотрите вопрос о нормировке. Напомним, что величина Четырехмерное инвариантное скалярное произведение двух Введем величину Заметим, что Полезным инвариантом является также произведение Имеем Волны. Как известно, частице с энергией-импульсом сопоставляется волна Сразу очевидно, что фаза волны инвариантна при ло-ренцевых преобразованиях. В действительности именно из этих соображений де Бройль нашел соотношение между энергией, импульсом, длиной волны и частотой. Задача 5-1 тем самым сводится к тому, чтобы установить, как преобразуется Заметим, что Положительные и отрицательные энергии. Уравнение Замечательно то, что мы должны оба решения рассматривать серьезно. Оказывается, что существуют частицы, описываемые решениями как с положительной, так и с отрицательной частотами. При Рис. 5-1. Рис. 5-2. Изобразим рассеяние классической частицы на пространственно-временной диаграмме, приведенной на рис. 5-1. (Здесь заштрихованная область представляет внешний источник, рассеивающий частицы.) Рис. 5-3. Теперь попытаемся представить, что случилось бы, если если бы траектория (или, в рамках квантовомеханического рассмотрения, волна) могла быть направлена вспять во времени! Подобная ситуация изображена на рис. 5-2. Обычным способом такой процесс может быть описан следующим образом (см. рис. 5-3). При В момент Вместо такого рассуждения мы хотим обобщить идею рассеяния и считать, что электрон рассеивается назад во времени от Теперь посмотрим, каким образом такая точка зрения решает проблему отрицательных энергий. Мы будем говорить о начальном (прошлое) и конечном (будущее) состояниях. Введем также понятие входящего и выходящего состояний (которые не имеют никакого отношения ко времени). В матричном элементе тогда как для рассеяния позитрона получим Полное правило гласит: Для электронов - входящее состояние в матричном элементе есть начальное состояние, а выходящее состояние в элементе есть конечное состояние. Для позитронов — входящее состояние вматричном элементе есть конечное состояние, а выходящее — начальное. Рассмотрим пробный пример. Допустим, что электрон теряет некоторую энергию (таким образом, видно, что В случае позитрона т. е. Однако согласно нашему правильному рецепту мы должны написать так что Можно взять более сложный случай. Так, например, амплитуда аннигиляции пары равна тогда как амплитуда рождения пары будет Как видно, если оператор М поглощает энергию, то в (1) он поглотит всю энергию пары, тогда как в (2) он даст нуль и т. п. Первая интерпретация состояний с отрицательной энергией была дана Дираком, который использовал принцип исключения Паули для того, чтобы запретить электронам падать на уровни с отрицательной энергией (рис. 5-4). Согласно его идее все состояния с отрицательной энергией заполнены вплоть до Рассмотрим, например, рассеяние позитронов. Каким образом позитрон может перейти в другое состояние? Электрон падает в первоначальную дырку, оставляя вакансию — дырку, т. е. позитрон, вместо себя (в состоянии с энергией Рис. 5-4. Матричный элемент для этого процесса совпадает с выражением, к которому мы пришли с помощью аргументов, использующих обращение времени. Рис. 5-5. Наш подход имеет то преимущество, что вам не приходится вводить бесконечное море электронов. Но для бозе-частиц вы не смогли бы «заполнить море и в миллионы лет». После создания квантовой механики прошло восемь лет, прежде чем Паули и Вайскопф предложили должную практику уравнения Клейна — Гордона. Интерпретация бозонных состояний с отрицательной энергией оказалась совершенно отличной от теории Дирака и использовала идеи метода вторичного квантования (Паули и Вайскопф [6]). Однако эта интерпретация совершенно эквивалентна нашему правилу, по которому для античастиц всего лишь меняется роль "входящих" и "выходящих" состояний. (Лекции, с 6-й по 14-ю, представляют собой содержание неопубликованного обзора по странным частицам, написанного Р. Фейнманом и М. Телл-Манном.)
|
Оглавление
|